\int e^{a x} \cdot \cos b x dx=\frac{e^{a x}(b \sin b x+a \cos b x)}{a^{2}+b^{2}}+c

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{a x}\cos b x\,dx,
onde a e b são constantes (assume-se reais). Vou apresentar um cálculo passo a passo que leva à forma fechada dada no enunciado. Informações relevantes: a integral é indefinida (há constante de integração) e as funções envolvidas são o exponencial e^{a x} e o cosseno \cos b x.

Passo 2

Ferramenta principal: integração por partes. A fórmula básica é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções de x, du é a diferencial de u e v é uma primitiva de dv. A ideia é escolher u e dv de modo que \int v\,du seja mais simples que a integral original. Vou aplicar essa técnica duas vezes (uma para obter uma nova integral e outra para voltar à integral original, permitindo resolver por algébrica).

Passo 3

Defina a integral que queremos calcular:
I:=\int e^{a x}\cos b x\,dx.
Escolho, para a primeira integração por partes,
u = e^{a x},\qquad dv = \cos b x\,dx.
Então
du = a e^{a x}\,dx,\qquad v = \int \cos b x\,dx = \frac{1}{b}\sin b x.
Aplicando a fórmula de partes:
I = u v - \int v\,du = e^{a x}\cdot\frac{1}{b}\sin b x - \int \frac{1}{b}\sin b x\cdot a e^{a x}\,dx.
Simplificando:
I = \frac{e^{a x}\sin b x}{b} - \frac{a}{b}\int e^{a x}\sin b x\,dx.
Para organizar, defino a nova integral
J:=\int e^{a x}\sin b x\,dx,
de modo que
I = \frac{e^{a x}\sin b x}{b} - \frac{a}{b}J.

Passo 4

Agora calculo J por partes também. Tome
u = e^{a x},\qquad dv = \sin b x\,dx.
Então
du = a e^{a x}\,dx,\qquad v = \int \sin b x\,dx = -\frac{1}{b}\cos b x.
Aplicando partes:
J = u v - \int v\,du = e^{a x}\left(-\frac{1}{b}\cos b x\right) - \int \left(-\frac{1}{b}\cos b x\right)\cdot a e^{a x}\,dx.
Simplificando:
J = -\frac{e^{a x}\cos b x}{b} + \frac{a}{b}\int e^{a x}\cos b x\,dx.
Mas \int e^{a x}\cos b x\,dx = I, então
J = -\frac{e^{a x}\cos b x}{b} + \frac{a}{b}I.

Passo 5

Volto à expressão obtida em Passo 3 que liga I e J:
I = \frac{e^{a x}\sin b x}{b} - \frac{a}{b}J.
Substituo a expressão de J do Passo 4:
I = \frac{e^{a x}\sin b x}{b} - \frac{a}{b}\left(-\frac{e^{a x}\cos b x}{b} + \frac{a}{b}I\right).
Desenvolvendo os parênteses:
I = \frac{e^{a x}\sin b x}{b} + \frac{a e^{a x}\cos b x}{b^{2}} - \frac{a^{2}}{b^{2}}I.

Passo 6

Agora reúno os termos que contêm I no mesmo lado. Somando \dfrac{a^{2}}{b^{2}}I aos dois lados:
I + \frac{a^{2}}{b^{2}}I = \frac{e^{a x}\sin b x}{b} + \frac{a e^{a x}\cos b x}{b^{2}}.
Fatorando I no lado esquerdo:
\left(1+\frac{a^{2}}{b^{2}}\right)I = \frac{e^{a x}\sin b x}{b} + \frac{a e^{a x}\cos b x}{b^{2}}.
Colocando tudo sobre um denominador comum b^{2} no lado direito:
\frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}}\,I = \frac{e^{a x}\big(b\sin b x + a\cos b x\big)}{b^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por b^{2} (e lembrando que trata-se de integral indefinida, então há uma constante de integração que pode aparecer ao final), obtém-se a relação
\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr)\,I = e^{a x}\bigl(b\sin b x + a\cos b x\bigr) + C,
onde C é uma constante de integração.

Passo 7

Agora isolando I dividindo ambos os lados por \bigl(a^{2}+b^{2}\bigr) e absorvendo a constante de integração na forma usual, chega-se à forma final da primitiva. (A expressão final abaixo apresenta a integral resolvida com a constante de integração.)

Resposta

\int e^{a x}\cos b x\,dx=\frac{e^{a x}\bigl(b\sin b x + a\cos b x\bigr)}{a^{2}+b^{2}}+c

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