Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
onde
e
são constantes (assume-se reais). Vou apresentar um cálculo passo a passo que leva à forma fechada dada no enunciado. Informações relevantes: a integral é indefinida (há constante de integração) e as funções envolvidas são o exponencial
e o cosseno
.
Passo 2
Ferramenta principal: integração por partes. A fórmula básica é
onde
e
são funções de
,
é a diferencial de
e
é uma primitiva de
. A ideia é escolher
e
de modo que
seja mais simples que a integral original. Vou aplicar essa técnica duas vezes (uma para obter uma nova integral e outra para voltar à integral original, permitindo resolver por algébrica).
Passo 3
Defina a integral que queremos calcular:
Escolho, para a primeira integração por partes,
Então
Aplicando a fórmula de partes:
Simplificando:
Para organizar, defino a nova integral
de modo que
Passo 4
Agora calculo
por partes também. Tome
Então
Aplicando partes:
Simplificando:
Mas
, então
Passo 5
Volto à expressão obtida em Passo 3 que liga
e
:
Substituo a expressão de
do Passo 4:
Desenvolvendo os parênteses:
Passo 6
Agora reúno os termos que contêm
no mesmo lado. Somando
aos dois lados:
Fatorando
no lado esquerdo:
Colocando tudo sobre um denominador comum
no lado direito:
Multiplicando ambos os lados por
(e lembrando que trata-se de integral indefinida, então há uma constante de integração que pode aparecer ao final), obtém-se a relação
onde
é uma constante de integração.
Passo 7
Agora isolando
dividindo ambos os lados por
e absorvendo a constante de integração na forma usual, chega-se à forma final da primitiva. (A expressão final abaixo apresenta a integral resolvida com a constante de integração.)