[1,0 pt.] 2) { }^{\prime} Se u(t)=\left|\vec{r}(t) \times \overrightarrow{r^{\prime}}(t)\right| \neq 0, use as propriedades da derivada para mostrar que
u^{\prime}(t)=\frac{\left(\vec{r} \times \overrightarrow{r^{\prime}}\right) \cdot\left(\vec{r} \times \overrightarrow{r^{\prime \prime}}\right)}{\left|\vec{r} \times \overrightarrow{r^{\prime}}\right|}

Passo 1

O enunciado dá que u(t)=\left|\vec{r}(t)\times \vec{r}^{\prime}(t)\right| e que u(t)\neq 0. A tarefa é mostrar que
u^{\prime}(t)=\frac{\left(\vec{r}\times \vec{r}^{\prime}\right)\cdot\left(\vec{r}\times \vec{r}^{\prime\prime}\right)}{\left|\vec{r}\times \vec{r}^{\prime}\right|}.
Informações relevantes que temos: a função vetorial \vec{r}(t) (com derivadas \vec{r}^{\prime}(t) e \vec{r}^{\prime\prime}(t)); a operação de produto vetorial \times; o módulo (norma) |\cdot|; e a operação de produto escalar \cdot. Não há outras incógnitas — temos que usar regras de derivação (produto escalar, produto vetorial, regra da cadeia) para obter a expressão pedida.

Passo 2

Primeiro, vou lembrar e provar uma fórmula útil: se \vec{v}(t) é um vetor dependente de t e \left|\vec{v}(t)\right|\neq 0, então
\frac{d}{dt}\left|\vec{v}(t)\right|=\frac{\vec{v}(t)\cdot\vec{v}^{\prime}(t)}{\left|\vec{v}(t)\right|}.
Explicação passo a passo: note que \left|\vec{v}\right|^{2}=\vec{v}\cdot\vec{v}. Aplicando derivada aos dois lados e usando a regra do produto para o produto escalar (que diz \frac{d}{dt}(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}^{\prime}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{b}^{\prime}), obtemos
\frac{d}{dt}\left(\left|\vec{v}\right|^{2}\right)=\frac{d}{dt}(\vec{v}\cdot\vec{v})=2\,\vec{v}\cdot\vec{v}^{\prime}.
Por outro lado, pela regra da cadeia, \frac{d}{dt}\left(\left|\vec{v}\right|^{2}\right)=2\left|\vec{v}\right|\cdot\frac{d}{dt}\left|\vec{v}\right|. Igualando as expressões e dividindo por 2\left|\vec{v}\right| (possível porque \left|\vec{v}\right|\neq 0) resulta
\frac{d}{dt}\left|\vec{v}\right|=\frac{\vec{v}\cdot\vec{v}^{\prime}}{\left|\vec{v}\right|},
que é exatamente a fórmula que usaremos.

Passo 3

Agora apliquei a fórmula do Passo 2 ao nosso caso tomando
\vec{v}(t)=\vec{r}(t)\times\vec{r}^{\prime}(t).
Pela fórmula,
u^{\prime}(t)=\frac{\left(\vec{r}\times\vec{r}^{\prime}\right)\cdot\frac{d}{dt}\left(\vec{r}\times\vec{r}^{\prime}\right)}{\left|\vec{r}\times\vec{r}^{\prime}\right|}.
Então o próximo objetivo é calcular \frac{d}{dt}\left(\vec{r}\times\vec{r}^{\prime}\right).

Passo 4

Usamos a regra da derivada para o produto vetorial: para vetores dependentes de t, vale
\frac{d}{dt}\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)=\vec{a}^{\prime}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{b}^{\prime}.
Isto é análogo à regra do produto para funções escalares e pode ser verificado compondo pelas coordenadas. Aplicando com \vec{a}=\vec{r} e \vec{b}=\vec{r}^{\prime} obtemos
\frac{d}{dt}\left(\vec{r}\times\vec{r}^{\prime}\right)=\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime}+\vec{r}\times\vec{r}^{\prime\prime}.
Aqui aparece \vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime}. Lembrando uma propriedade básica do produto vetorial: qualquer vetor cruz si mesmo é o vetor nulo, ou seja \vec{w}\times\vec{w}=\vec{0} para todo \vec{w}. Assim \vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime}=\vec{0}. Portanto
\frac{d}{dt}\left(\vec{r}\times\vec{r}^{\prime}\right)=\vec{r}\times\vec{r}^{\prime\prime}.

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 3 e substituindo o resultado do Passo 4, fica
u^{\prime}(t)=\frac{\left(\vec{r}\times\vec{r}^{\prime}\right)\cdot\left(\vec{r}\times\vec{r}^{\prime\prime}\right)}{\left|\vec{r}\times\vec{r}^{\prime}\right|},
que é exatamente a identidade que queríamos demonstrar. Pronto! Se você ficou meio tonto com tantas regras, relaxa: a ideia é só lembrar (1) derivada da norma vem por |v|^2=v\cdot v e (2) derivada do produto vetorial é análoga à do produto escalar.

Resposta

u^{\prime}(t)=\frac{\left(\vec{r}\times \vec{r}^{\prime}\right)\cdot\left(\vec{r}\times \vec{r}^{\prime\prime}\right)}{\left|\vec{r}\times \vec{r}^{\prime}\right|}

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