Determine a perda de carga em um conduto retangular de seção 0,50 \mathrm{~m} \times 0,20 \mathrm{~m}, de aço comercial novo, \varepsilon=0,045 \mathrm{~mm}, com 620 m de comprimento, transportando 1101 / \mathrm{s} de água. Viscosidade cinemática da água v_{\mathrm{cn}}=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.
( \Delta H=\mathbf{2}, \mathbf{1 2} m )

Passo 1

O enunciado pede a perda de carga (queda de carga, head loss) em um conduto retangular. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\text{seção retangular: }0{,}50\\ \text{m} \times 0{,}20\\ \text{m}çã
\varepsilon = 0{,}045\\ \text{mm}
L = 620\\ \text{m}
Q = 110\\ \text{L/s}
\nu = 10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s}
Observações sobre os dados que converti: converti a vazão para metros cúbicos por segundo porque as fórmulas usam SI: Q=110\\ \text{L/s}=0{,}110\\ \text{m}^3/\text{s}. Converti também a rugosidade para metros quando for necessário: \varepsilon=0{,}045\\ \text{mm}=0{,}000045\\ \text{m}.

Passo 2

Calcular área da seção A, perímetro molhado P e diâmetro hidráulico D_h. Fórmulas e explicações:
A=\text{base}\times\text{altura}
P=2(\text{base}+\text{altura})
D_h=\frac{4A}{P}
Aqui A é a área da seção (m^2), P é o perímetro molhado (m) e D_h é o diâmetro hidráulico equivalente (m) que usamos para dutos não circulares.
Cálculo numérico:
A=0{,}50\cdot0{,}20=0{,}100\\ \text{m}^2
P=2(0{,}50+0{,}20)=2(0{,}70)=1{,}40\\ \text{m}
D_h=\frac{4\cdot0{,}100}{1{,}40}=\frac{0{,}400}{1{,}40}=0{,}285714\\ \text{m}

Passo 3

Calcular a velocidade média V do escoamento. Fórmula:
V=\frac{Q}{A}
Explicando: Q é a vazão volumétrica ( \text{m}^3/\text{s}), A a área da seção ( \text{m}^2), então V sai em \text{m}/\text{s}.
Cálculo:
V=\frac{0{,}110}{0{,}100}=1{,}10\\ \text{m}/\text{s}

Passo 4

Calcular o número de Reynolds \mathrm{Re} para verificar o regime de escoamento. Fórmula e explicação:
\mathrm{Re}=\frac{V D_h}{\nu}
onde \nu é a viscosidade cinemática ( \text{m}^2/\text{s}). Se \mathrm{Re}\gtrsim4000 o escoamento é turbulento.
Cálculo:
\mathrm{Re}=\frac{1{,}10\cdot0{,}285714}{10^{-6}}=\frac{0{,}3142854}{10^{-6}}=3{,}142854\times10^{5}
Como \mathrm{Re}\approx3{,}14\times10^{5}\gg4000, o escoamento é turbulento.

Passo 5

Calcular a rugosidade relativa \dfrac{\varepsilon}{D_h}. Primeiro converter \varepsilon para metros (já observei isso no Passo 1):
\varepsilon=0{,}000045\\ \text{m}
Agora:
\frac{\varepsilon}{D_h}=\frac{0{,}000045}{0{,}285714}=1{,}575\times10^{-4}
Isso serve para avaliar se o escoamento está na faixa de rugosidade relevante (regime rugoso parcialmente ou totalmente).

Passo 6

Escolher método para obter o fator de atrito f. Explicação curta das opções:
  • Para escoamento totalmente laminar usar f=64/\mathrm{Re} (não é o caso).
  • Para escoamento turbulento com parede rugosa usamos a equação implícita de Colebrook-White:
\frac{1}{\sqrt{f}}=-2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h}+\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right)
Essa é implícita em f e exige iteração.
  • Para cálculo direto e rápido podemos usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa precisão para regime turbulento):
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}
Vou usar Swamee–Jain por ser explícita e adequada aqui (escoamento turbulento e valores típicos de rugosidade).

Passo 7

Aplicar Swamee–Jain passo a passo (explicando cada termo):
Calcular os dois termos dentro do log:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h}=\frac{0{,}000045}{3{,}7\cdot0{,}285714}
3{,}7D_h=3{,}7\cdot0{,}285714=1{,}057143
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h}=\frac{0{,}000045}{1{,}057143}=4{,}26\times10^{-5}
Calcular o segundo termo:
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{(3{,}142854\times10^{5})^{0{,}9}}
Calculo aproximado de \mathrm{Re}^{0{,}9}: (3{,}142854\times10^{5})^{0{,}9}\approx8{,}96\times10^{4}, logo
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx6{,}40\times10^{-5}
Somando dentro do log:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx4{,}26\times10^{-5}+6{,}40\times10^{-5}=1{,}066\times10^{-4}
Agora o logaritmo:
\log_{10}\!\left(1{,}066\times10^{-4}\right)=-4+\log_{10}(1{,}066)\approx-4+0{,}0283=-3{,}9717
Finalmente Swamee–Jain:
f=\frac{0{,}25}{(-3{,}9717)^2}=\frac{0{,}25}{15{,}774}\approx0{,}01585
Portanto f\approx0{,}01585. (Se quisermos mais precisão poderíamos iterar na Colebrook, mas este valor já é suficientemente exato para cálculo de perda de carga em prova.)

Passo 8

Calcular a perda de carga pelo método de Darcy–Weisbach. Fórmula e explicação:
\Delta H = f\cdot\frac{L}{D_h}\cdot\frac{V^2}{2g}
onde \Delta H é a perda de carga (m), f o fator de atrito adimensional, L comprimento (m), D_h diâmetro hidráulico (m), V velocidade média (m/s) e g\approx9{,}81\\ \text{m}/\text{s}^2.
Calcular os termos:
\frac{L}{D_h}=\frac{620}{0{,}285714}=2170{,}0
\frac{V^2}{2g}=\frac{(1{,}10)^2}{2\cdot9{,}81}=\frac{1{,}21}{19{,}62}=0{,}0617\\ \text{m}
Agora a perda:
\Delta H = 0{,}01585\cdot2170{,}0\cdot0{,}0617
Primeiro 0{,}01585\cdot2170{,}0=34{,}4145.
Então
\Delta H=34{,}4145\cdot0{,}0617\approx2{,}12\\ \text{m}

Passo 9

Breve interpretação final e incentivo: a perda de carga total ao longo dos 620\\ \text{m} do conduto retangular é pequena (da ordem de metros) porque a vazão e velocidade são moderadas; a maior contribuição vem do fator de atrito na parede (determinado pela rugosidade e Reynolds). Mandou bem procurando resolver — essa é a técnica que cai em prova: calcular D_h, V, \mathrm{Re}, escolher fórmula para f e aplicar Darcy–Weisbach.

Resposta

2,12 m

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