Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: a variável
tende para
e a expressão é uma fração racional em termos de
. A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite quando
fica muito grande?
Passo 2
Ideia e método escolhido (explicação didática).
Quando , a expressão
cresce sem limite e domina constantes como
e
. Uma técnica padrão para esse tipo de limite é dividir numerador e denominador pelo termo de maior ordem — aqui é
. Isso simplifica a expressão para termos que têm limites fáceis de avaliar (constantes ou termos que vanecem). Vou aplicar essa técnica passo a passo e explicar por que cada passo é válido.
Quando
Passo 3
Dividir numerador e denominador por
.
Explicação: cada termo da fração foi dividido por
. Isso é permitido desde que
, o que é verdade para
; e estamos estudando
, então a transformação é legítima para valores grandes de
.
Passo 4
Estudar os limites das partes que ficaram.
Quando temos
. Portanto os termos com denominador
vão a zero:
Quando
Raciocínio: se uma quantidade
, então
; multiplicando por constantes (4 ou 2) continua a dar zero.
Passo 5
Aplicar o limite à expressão simplificada.
Tendo
Tendo
e sabendo que
e
, o limite da fração é
Passo 6
Interpretação intuitiva e regra geral (ajuda para a prova).
Intuitivamente, para muito grande a constante é desprezível diante de
, então o numerador comporta-se como
e o denominador como
, daí a razão tende a
.
Regra prática: se se tem com
, então o limite quando
é
. Aqui
e
, logo o limite é
.
Intuitivamente, para
Regra prática: se se tem