\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{4-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}.
Informações dadas: a variável x tende para +\infty e a expressão é uma fração racional em termos de \sqrt{x}. A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite quando x fica muito grande?

Passo 2

Ideia e método escolhido (explicação didática).
Quando x\to\infty, a expressão \sqrt{x} cresce sem limite e domina constantes como 4 e 2. Uma técnica padrão para esse tipo de limite é dividir numerador e denominador pelo termo de maior ordem — aqui é \sqrt{x}. Isso simplifica a expressão para termos que têm limites fáceis de avaliar (constantes ou termos que vanecem). Vou aplicar essa técnica passo a passo e explicar por que cada passo é válido.

Passo 3

Dividir numerador e denominador por \sqrt{x}.
\frac{4-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}} = \frac{\dfrac{4}{\sqrt{x}}-1}{\dfrac{2}{\sqrt{x}}+1}.
Explicação: cada termo da fração foi dividido por \sqrt{x}. Isso é permitido desde que \sqrt{x}\neq0, o que é verdade para x>0; e estamos estudando x\to\infty, então a transformação é legítima para valores grandes de x.

Passo 4

Estudar os limites das partes que ficaram.
Quando x\to\infty temos \sqrt{x}\to\infty. Portanto os termos com denominador \sqrt{x} vão a zero:
\lim_{x\to\infty}\frac{4}{\sqrt{x}}=0, \qquad \lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0.
Raciocínio: se uma quantidade t\to\infty, então 1/t\to0; multiplicando por constantes (4 ou 2) continua a dar zero.

Passo 5

Aplicar o limite à expressão simplificada.
Tendo
\frac{\dfrac{4}{\sqrt{x}}-1}{\dfrac{2}{\sqrt{x}}+1},
e sabendo que \dfrac{4}{\sqrt{x}}\to0 e \dfrac{2}{\sqrt{x}}\to0, o limite da fração é
\frac{0-1}{0+1}=\frac{-1}{1}=-1.

Passo 6

Interpretação intuitiva e regra geral (ajuda para a prova).
Intuitivamente, para x muito grande a constante é desprezível diante de \sqrt{x}, então o numerador comporta-se como -\sqrt{x} e o denominador como +\sqrt{x}, daí a razão tende a -1.
Regra prática: se se tem \dfrac{a\sqrt{x}+b}{c\sqrt{x}+d} com a,c\neq0, então o limite quando x\to\infty é \dfrac{a}{c}. Aqui a=-1 e c=1, logo o limite é -1.

Resposta

-1

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