Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da expressão
Informações relevantes:
- Queremos
. - A expressão envolve uma raiz quadrada no numerador e um termo linear no denominador.
- Para
os termos de maior grau em costumam dominar o comportamento da expressão.
Passo 2
Estratégia escolhida (método): fatorar a maior potência de
que aparece dentro da raiz (aqui é
) para simplificar a expressão e usar propriedades de limites. Esse é um método básico, prático e rápido para limites no infinito envolvendo raízes e polinômios.
Passo 3
Fatorar
dentro da raiz e usar a propriedade
:
Explicando com calma: escrevemos
. A raiz do produto é o produto das raízes.
Passo 4
Tratar
. Em geral
. Como estamos levando
, temos
. Assim o numerador vira
Passo 5
Substituir na fração e simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Expliquei: para simplificar uma razão com fatores
em ambos, dividi cada termo por
.
Passo 6
Aplicar o limite usando que
quando
, e que funções contínuas permitem passar ao limite dentro delas:
Aqui usei continuidade da função
e da divisão (denominador tendendo a
).
Passo 7
Interpretação rápida (intuição): para
grande o termo
domina
, então
e o denominador
, daí a razão tende a
. Mas a solução acima é a demonstração rigorosa.