\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x+3 x^{2}}}{4 x-1}\

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a +\infty da expressão
\frac{\sqrt{x+3x^{2}}}{4x-1}.
Informações relevantes:
  • Queremos \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+3x^{2}}}{4x-1}.
  • A expressão envolve uma raiz quadrada no numerador e um termo linear no denominador.
  • Para x\to\infty os termos de maior grau em x costumam dominar o comportamento da expressão.

Passo 2

Estratégia escolhida (método): fatorar a maior potência de x que aparece dentro da raiz (aqui é x^{2}) para simplificar a expressão e usar propriedades de limites. Esse é um método básico, prático e rápido para limites no infinito envolvendo raízes e polinômios.

Passo 3

Fatorar x^{2} dentro da raiz e usar a propriedade \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}:
\sqrt{x+3x^{2}}=\sqrt{x^{2}\!\left(3+\frac{1}{x}\right)}=\sqrt{x^{2}}\;\sqrt{3+\frac{1}{x}}.
Explicando com calma: escrevemos x+3x^{2}=x^{2}\,(3+1/x). A raiz do produto é o produto das raízes.

Passo 4

Tratar \sqrt{x^{2}}. Em geral \sqrt{x^{2}}=|x|. Como estamos levando x\to\infty, temos |x|=x. Assim o numerador vira
\sqrt{x+3x^{2}}=x\sqrt{3+\frac{1}{x}}\quad\text{para }x\to\infty.

Passo 5

Substituir na fração e simplificar dividindo numerador e denominador por x:
\frac{\sqrt{x+3x^{2}}}{4x-1}=\frac{x\sqrt{3+\frac{1}{x}}}{4x-1} =\frac{\sqrt{3+\frac{1}{x}}}{4-\frac{1}{x}}.
Expliquei: para simplificar uma razão com fatores x em ambos, dividi cada termo por x.

Passo 6

Aplicar o limite usando que \dfrac{1}{x}\to 0 quando x\to\infty, e que funções contínuas permitem passar ao limite dentro delas:
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{3+\frac{1}{x}}}{4-\frac{1}{x}} =\frac{\sqrt{3+0}}{4-0}=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Aqui usei continuidade da função \sqrt{\cdot} e da divisão (denominador tendendo a 4\neq 0).

Passo 7

Interpretação rápida (intuição): para x grande o termo 3x^{2} domina x, então \sqrt{x+3x^{2}}\approx\sqrt{3}\,x e o denominador \approx 4x, daí a razão tende a \sqrt{3}/4. Mas a solução acima é a demonstração rigorosa.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}}{4}

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