Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache D_{11} f(x, y); (b) ache D_{22} f(x, y); (c) mostre que D_{12} f(x, y)=D_{21} f(x, y).
f(x, y)=3 x \operatorname{cosh} y-y \operatorname{sen}^{-1} e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=3x\operatorname{cosh} y - y\,\operatorname{sen}^{-1}\!\big(e^{x}\big)
e pede três coisas:
  • (a) achar D_{11}f(x,y), isto é, \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y);
  • (b) achar D_{22}f(x,y), isto é, \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y);
  • (c) mostrar que D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y), ou seja, que as derivadas mistas são iguais.
Informações relevantes e observações sobre domínio (importante para derivadas):
  • A função contém \operatorname{sen}^{-1}\!(e^{x}) (arco-seno de e^{x}). Para que \operatorname{sen}^{-1}\!(e^{x}) seja um número real é necessário que e^{x}\in[-1,1]. Como e^{x}>0 para todo x, isso exige 0< e^{x}\le 1, ou seja x\le 0. Para as derivadas que envolvem \dfrac{1}{\sqrt{1-e^{2x}}} precisamos de 1-e^{2x}>0, então tipicamente trabalharemos para x<0 (ponto onde as expressões estão bem definidas e contínuas).
  • Vamos calcular as derivadas parciais usando regras básicas: regra do produto, regra da cadeia, derivadas de funções hiperbólicas e derivada de \operatorname{sen}^{-1}(u).

Passo 2

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a x, isto é \displaystyle D_{1}f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y).
Regras que vamos usar aqui:
  • Derivada de x\mapsto 3x\operatorname{cosh} y em relação a x: \operatorname{cosh} y é constante (em x), então a derivada é 3\operatorname{cosh} y.
  • Regra do produto: se h(x)=u(x)v(x) então h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Derivada de \operatorname{sen}^{-1}(u) em relação a x (regra da cadeia): se u=u(x) então
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}^{-1}(u)=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}.
Aplicando ao segundo termo -y\,\operatorname{sen}^{-1}(e^{x}): aqui y é tratada como constante e u(x)=e^{x} com u'(x)=e^{x}. Logo a derivada em x desse termo é
-y\cdot\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}.
Portanto, juntando,
D_{1}f(x,y)=3\operatorname{cosh} y - y\cdot\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}.

Passo 3

Calcular D_{11}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(D_{1}f(x,y)\big).
Partimos de
D_{1}f(x,y)=3\operatorname{cosh} y - y\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}.
A derivada do primeiro termo 3\operatorname{cosh} y em relação a x é zero (não depende de x). Resta diferenciar
g(x)=y\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}
em relação a x, lembrando do sinal negativo original (há um - antes desse termo). Como y é constante em relação a x, podemos escrever g(x)=y\cdot h(x) com
h(x)=\frac{e^{x}}{(1-e^{2x})^{1/2}}.
Derivemos h(x) usando produto/chain: h(x)=e^{x}(1-e^{2x})^{-1/2}. Então
h'(x)=e^{x}(1-e^{2x})^{-1/2} + e^{x}\cdot\big[(-\tfrac{1}{2})(1-e^{2x})^{-3/2}\cdot(-2e^{2x})\big].
Simplificando o segundo termo: (-\tfrac{1}{2})(-2e^{2x})=e^{2x}. Assim
h'(x)=\frac{e^{x}}{(1-e^{2x})^{1/2}}+\frac{e^{3x}}{(1-e^{2x})^{3/2}}.
Colocando sobre o denominador comum (1-e^{2x})^{3/2} obtemos
h'(x)=\frac{e^{x}\big(1-e^{2x}\big)+e^{3x}}{(1-e^{2x})^{3/2}}=\frac{e^{x}}{(1-e^{2x})^{3/2}}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial x}\Big(y\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}\Big)=y\cdot h'(x)=y\cdot\frac{e^{x}}{(1-e^{2x})^{3/2}}.
Lembrando o sinal negativo inicial, chegamos a
D_{11}f(x,y)=-\,y\cdot\frac{e^{x}}{(1-e^{2x})^{3/2}}.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a y, isto é \displaystyle D_{2}f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y).
Voltando à função
f(x,y)=3x\operatorname{cosh} y - y\,\operatorname{sen}^{-1}(e^{x}),
a derivada do primeiro termo em relação a y usa que \dfrac{d}{dy}\operatorname{cosh} y=\operatorname{sinh} y. Assim
\frac{\partial}{\partial y}\big(3x\operatorname{cosh} y\big)=3x\operatorname{sinh} y.
Para o segundo termo -y\operatorname{sen}^{-1}(e^{x}), ao derivar em relação a y trata-se de produto onde \operatorname{sen}^{-1}(e^{x}) é constante (em y), então
\frac{\partial}{\partial y}\big(-y\,\operatorname{sen}^{-1}(e^{x})\big)=-\operatorname{sen}^{-1}(e^{x}).
Logo
D_{2}f(x,y)=3x\operatorname{sinh} y - \operatorname{sen}^{-1}(e^{x}).

Passo 5

Calcular D_{22}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(D_{2}f(x,y)\big).
Partimos de
D_{2}f(x,y)=3x\operatorname{sinh} y - \operatorname{sen}^{-1}(e^{x}).
A derivada de 3x\operatorname{sinh} y em relação a y é 3x\operatorname{cosh} y (pois \dfrac{d}{dy}\operatorname{sinh} y=\operatorname{cosh} y) e a derivada de -\operatorname{sen}^{-1}(e^{x}) em relação a y é zero (não depende de y). Assim
D_{22}f(x,y)=3x\operatorname{cosh} y.

Passo 6

Calcular as derivadas mistas D_{12}f e D_{21}f e verificar que são iguais.
Primeiro D_{12}f=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(D_{1}f\big). Lembrando
D_{1}f(x,y)=3\operatorname{cosh} y - y\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}},
derivando em y:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(3\operatorname{cosh} y)=3\operatorname{sinh} y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(y\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}\big)=\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}} porque \frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}} é constante em y e a derivada de y é 1. Havia sinal negativo inicial, então
D_{12}f(x,y)=3\operatorname{sinh} y - \frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}.
Agora D_{21}f=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(D_{2}f\big). Lembrando
D_{2}f(x,y)=3x\operatorname{sinh} y - \operatorname{sen}^{-1}(e^{x}),
derivando em x:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(3x\operatorname{sinh} y)=3\operatorname{sinh} y (pois \operatorname{sinh} y é constante em x).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(-\operatorname{sen}^{-1}(e^{x})\big)=-\dfrac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}} (mesma regra da cadeia usada antes).
    Portanto
D_{21}f(x,y)=3\operatorname{sinh} y - \frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}.
Comparando, obtemos diretamente
D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y)=3\operatorname{sinh} y - \frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}
(em pontos do domínio onde essas expressões estão bem definidas, por exemplo para x<0).
Um comentário teórico curto (motivacional): essa igualdade é esperada pela chamada Teorema de Clairaut (ou igualdade das derivadas mistas) sempre que as segundas derivadas parciais forem contínuas numa vizinhança do ponto considerado — o que ocorre aqui para x<0.

Resposta

D_{11}f(x,y)=-y\displaystyle\frac{e^{x}}{(1-e^{2x})^{3/2}}
D_{22}f(x,y)=3x\operatorname{cosh} y
D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y)=3\operatorname{sinh} y-\displaystyle\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}

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