Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache
; (b) ache
; (c) mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) achar
, isto é, ; - (b) achar
, isto é, ; - (c) mostrar que
, ou seja, que as derivadas mistas são iguais.
Informações relevantes e observações sobre domínio (importante para derivadas):
- A função contém
(arco-seno de ). Para que seja um número real é necessário que . Como para todo , isso exige , ou seja . Para as derivadas que envolvem precisamos de , então tipicamente trabalharemos para (ponto onde as expressões estão bem definidas e contínuas). - Vamos calcular as derivadas parciais usando regras básicas: regra do produto, regra da cadeia, derivadas de funções hiperbólicas e derivada de
.
Passo 2
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, isto é
.
Regras que vamos usar aqui:
- Derivada de
em relação a : é constante (em ), então a derivada é . - Regra do produto: se
então . - Derivada de
em relação a (regra da cadeia): se então
Aplicando ao segundo termo
: aqui
é tratada como constante e
com
. Logo a derivada em
desse termo é
Portanto, juntando,
Passo 3
Calcular
.
Partimos de
A derivada do primeiro termo
em relação a
é zero (não depende de
). Resta diferenciar
em relação a
, lembrando do sinal negativo original (há um
antes desse termo). Como
é constante em relação a
, podemos escrever
com
Derivemos
usando produto/chain:
. Então
Simplificando o segundo termo:
. Assim
Colocando sobre o denominador comum
obtemos
Portanto
Lembrando o sinal negativo inicial, chegamos a
Passo 4
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, isto é
.
Voltando à função
a derivada do primeiro termo em relação a
usa que
. Assim
Para o segundo termo
, ao derivar em relação a
trata-se de produto onde
é constante (em
), então
Logo
Passo 5
Calcular
.
Partimos de
A derivada de
em relação a
é
(pois
) e a derivada de
em relação a
é zero (não depende de
). Assim
Passo 6
Calcular as derivadas mistas
e
e verificar que são iguais.
Primeiro
. Lembrando
derivando em
:
-
. -
porque é constante em e a derivada de é . Havia sinal negativo inicial, então
Agora
. Lembrando
derivando em
:
-
(pois é constante em ). -
(mesma regra da cadeia usada antes).
Portanto
Comparando, obtemos diretamente
(em pontos do domínio onde essas expressões estão bem definidas, por exemplo para
).
Um comentário teórico curto (motivacional): essa igualdade é esperada pela chamada Teorema de Clairaut (ou igualdade das derivadas mistas) sempre que as segundas derivadas parciais forem contínuas numa vizinhança do ponto considerado — o que ocorre aqui para
.