\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x+3}{5 x-1}\

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o valor do limite
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4x+3}{5x-1}.
Informações dadas:
  • A variável que tende ao infinito é x.
  • A expressão é uma fração racional cujo numerador é 4x+3 e cujo denominador é 5x-1.
  • O objetivo é determinar o valor numérico do limite quando x cresce sem bound.

Passo 2

Qual a ideia para resolver? Uma técnica simples e direta para limites quando x\to\infty em funções racionais é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece ali. Aqui a maior potência é x^1. Isso deixa explícito como os termos de ordem menor (como 3 ou -1) se comportam quando x fica grande. Outra forma curta (que depois explico) é: quando o grau do polinômio do numerador e do denominador é o mesmo, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Vou usar a divisão por x porque é elementar e mostra por que os termos constantes somem no limite.

Passo 3

Começo dividindo numerador e denominador por x. Faço a manipulação algébrica para deixar a expressão em forma conveniente:
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4x+3}{5x-1} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\dfrac{4x+3}{x}}{\dfrac{5x-1}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4+\dfrac{3}{x}}{5-\dfrac{1}{x}}.
Agora analiso os termos \dfrac{3}{x} e \dfrac{1}{x} quando x\to\infty. Intuitivamente, conforme x cresce, \dfrac{3}{x} e \dfrac{1}{x} ficam cada vez menores e tendem a zero. Formalmente, para qualquer \varepsilon>0 basta tomar X>\dfrac{3}{\varepsilon} para garantir \left|\dfrac{3}{x}\right|<\varepsilon sempre que x>X; assim \dfrac{3}{x}\to 0. O mesmo raciocínio vale para \dfrac{1}{x}\to 0.

Passo 4

Usando propriedades de limites (limite da soma é soma dos limites, limite do quociente é quociente dos limites quando o limite do denominador é não nulo), obtemos:
\lim_{x \rightarrow \infty} \left(4+\dfrac{3}{x}\right) = 4 + 0 = 4, \qquad \lim_{x \rightarrow \infty} \left(5-\dfrac{1}{x}\right) = 5 - 0 = 5.
Portanto
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4+\dfrac{3}{x}}{5-\dfrac{1}{x}} = \frac{4}{5}.
Interpretação rápida para decorar: aqui o grau do numerador ( 1) é igual ao grau do denominador ( 1). Nesses casos o limite quando x\to\infty é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau — isto é, \dfrac{4}{5}. Isso economiza tempo em prova.

Resposta

\dfrac{4}{5}

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