.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a
da função racional
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - O ponto de interesse é
.
O que se pede: encontrar.
Passo 2
Ideia de método (explicação didática): para limites de funções racionais (quociente de polinômios) quando
, a razão entre os termos de maior grau domina o comportamento. Três casos comuns:
- Se o grau do numerador é menor que o grau do denominador, o limite é
. - Se os graus são iguais, o limite é a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau.
- Se o grau do numerador é maior, o limite tende a
(dependendo dos sinais).
Aqui o grau do numerador ée o do denominador é , então esperamos que o limite seja . Vou demonstrar isso de forma algébrica dividindo numerador e denominador por a maior potência de presente no denominador.
Passo 3
Dividir numerador e denominador por
(a maior potência que aparece no denominador). Escrevendo:
Passo 4
Simplificar as frações dentro do quociente:
Aqui cada parcela ficou na forma
com
, exceto o
isolado no denominador.
Passo 5
Analisar o comportamento de cada termo quando
:
- Para todo
vale quando . Assim , e . - Portanto o numerador
tende a . - O denominador
tende a .
Como o denominador tende a uma constante não nula (), o quociente tende a .
Passo 6
Concluir o limite:
Breve comentário motivador: isso confirma a regra prática — o polinômio de grau maior (aqui
no denominador) domina e “puxa” o quociente para zero — então não precisa decorar, basta dividir pela maior potência e ver os termos irem a zero. Vai dar certo na prova!