\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{4-3 x-2 x^{2}}{3 x^{4}+5 x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a -\infty da função racional
\frac{4-3x-2x^{2}}{3x^{4}+5x}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio 4-3x-2x^{2}.
  • O denominador é o polinômio 3x^{4}+5x.
  • O ponto de interesse é x\to -\infty.
    O que se pede: encontrar \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{4-3x-2x^{2}}{3x^{4}+5x}.

Passo 2

Ideia de método (explicação didática): para limites de funções racionais (quociente de polinômios) quando x\to\pm\infty, a razão entre os termos de maior grau domina o comportamento. Três casos comuns:
  • Se o grau do numerador é menor que o grau do denominador, o limite é 0.
  • Se os graus são iguais, o limite é a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau.
  • Se o grau do numerador é maior, o limite tende a \pm\infty (dependendo dos sinais).
    Aqui o grau do numerador é 2 e o do denominador é 4, então esperamos que o limite seja 0. Vou demonstrar isso de forma algébrica dividindo numerador e denominador por a maior potência de x presente no denominador.

Passo 3

Dividir numerador e denominador por x^{4} (a maior potência que aparece no denominador). Escrevendo:
\frac{4-3x-2x^{2}}{3x^{4}+5x} = \frac{\dfrac{4}{x^{4}}-\dfrac{3x}{x^{4}}-\dfrac{2x^{2}}{x^{4}}}{\dfrac{3x^{4}}{x^{4}}+\dfrac{5x}{x^{4}}}.

Passo 4

Simplificar as frações dentro do quociente:
\frac{4-3x-2x^{2}}{3x^{4}+5x} = \frac{\dfrac{4}{x^{4}}-\dfrac{3}{x^{3}}-\dfrac{2}{x^{2}}}{3+\dfrac{5}{x^{3}}}.
Aqui cada parcela ficou na forma \dfrac{\text{constante}}{x^{k}} com k>0, exceto o 3 isolado no denominador.

Passo 5

Analisar o comportamento de cada termo quando x\to -\infty:
  • Para todo k>0 vale \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to -\infty. Assim \dfrac{4}{x^{4}}\to 0, \dfrac{3}{x^{3}}\to 0 e \dfrac{2}{x^{2}}\to 0.
  • Portanto o numerador \dfrac{4}{x^{4}}-\dfrac{3}{x^{3}}-\dfrac{2}{x^{2}} tende a 0-0-0=0.
  • O denominador 3+\dfrac{5}{x^{3}} tende a 3+0=3.
    Como o denominador tende a uma constante não nula ( 3), o quociente tende a 0/3.

Passo 6

Concluir o limite:
\lim_{x\to -\infty}\frac{4-3x-2x^{2}}{3x^{4}+5x}=0.
Breve comentário motivador: isso confirma a regra prática — o polinômio de grau maior (aqui x^{4} no denominador) domina e “puxa” o quociente para zero — então não precisa decorar, basta dividir pela maior potência e ver os termos irem a zero. Vai dar certo na prova!

Resposta

0

Exercícios relacionados