.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- O numerador é o polinômio
, de grau , com coeficiente dominante . - O denominador é o polinômio
, de grau , com coeficiente dominante . - A variável tende para
(ou seja, para valores muito grandes e positivos de ).
O que se pede: determinar o comportamento (valor ou crescimento) da razão quandocresce sem limite.
Passo 2
Conceito útil (explicado de forma prática): para limites de frações de polinômios quando
a ordem (grau) dos polinômios domina o comportamento. Regras rápidas:
- Se o grau do numerador é menor que o grau do denominador,
da razão é . - Se os graus são iguais, o limite é o quociente dos coeficientes líderes.
- Se o grau do numerador é maior que o do denominador, o módulo da razão tende a
; o sinal final depende dos coeficientes líderes e do comportamento de (aqui ).
Por que isso funciona (ideia intuitiva): termos de grau menor ficam insignificantes em comparação com os de maior grau quando
é muito grande. Para manipular isso formalmente, costuma-se dividir numerador e denominador por uma potência adequada de
.
Passo 3
Aplicando uma estratégia prática: dividir numerador e denominador pelo maior grau do denominador, que é
. Isso deixa claro como a fração cresce:
Agora observamos os limites termo a termo quando
:
-
, porque e . - Para o numerador, os dois primeiros termos crescem:
e , enquanto . Portanto o numerador tende para .
Como o numerador tende para
e o denominador tende para o número finito e positivo
, a razão tende para
. Em termos simples: crescer para infinito dividido por algo que se aproxima de
dá infinito positivo.
Passo 4
Alternativa curta e direta (intuição por termos dominantes): para
grande os termos dominantes são
no numerador e
no denominador, então a fração se comporta como
e
. Isso confirma o resultado do passo anterior.
Passo 5
Conclusão e interpretação: como o grau do numerador é maior que o do denominador (diferença de 2), a fração cresce como uma constante vezes
quando
, e o sinal é positivo porque os coeficientes líderes (
e
) e
são positivos para
grande. Logo o limite é
.