\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{8 x^{4}+7 x^{3}-3}{3 x^{2}-5 x+1}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{8x^{4}+7x^{3}-3}{3x^{2}-5x+1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O numerador é o polinômio 8x^{4}+7x^{3}-3, de grau 4, com coeficiente dominante 8.
  • O denominador é o polinômio 3x^{2}-5x+1, de grau 2, com coeficiente dominante 3.
  • A variável tende para +\infty (ou seja, para valores muito grandes e positivos de x).
    O que se pede: determinar o comportamento (valor ou crescimento) da razão quando x cresce sem limite.

Passo 2

Conceito útil (explicado de forma prática): para limites de frações de polinômios quando x\to\infty a ordem (grau) dos polinômios domina o comportamento. Regras rápidas:
  • Se o grau do numerador é menor que o grau do denominador, \displaystyle\lim_{x\to\infty} da razão é 0.
  • Se os graus são iguais, o limite é o quociente dos coeficientes líderes.
  • Se o grau do numerador é maior que o do denominador, o módulo da razão tende a +\infty; o sinal final depende dos coeficientes líderes e do comportamento de x (aqui x\to+\infty).
Por que isso funciona (ideia intuitiva): termos de grau menor ficam insignificantes em comparação com os de maior grau quando x é muito grande. Para manipular isso formalmente, costuma-se dividir numerador e denominador por uma potência adequada de x.

Passo 3

Aplicando uma estratégia prática: dividir numerador e denominador pelo maior grau do denominador, que é x^{2}. Isso deixa claro como a fração cresce:
\frac{8x^{4}+7x^{3}-3}{3x^{2}-5x+1} = \frac{8x^{4}/x^{2}+7x^{3}/x^{2}-3/x^{2}}{3x^{2}/x^{2}-5x/x^{2}+1/x^{2}} = \frac{8x^{2}+7x-3/x^{2}}{3-5/x+1/x^{2}}.
Agora observamos os limites termo a termo quando x\to\infty:
  • \displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{3-5/x+1/x^{2}}{ } = 3, porque \displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{5}{x}=0 e \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}=0.
  • Para o numerador, os dois primeiros termos crescem: 8x^{2}\to+\infty e 7x\to+\infty, enquanto -3/x^{2}\to 0. Portanto o numerador tende para +\infty.
Como o numerador tende para +\infty e o denominador tende para o número finito e positivo 3, a razão tende para +\infty. Em termos simples: crescer para infinito dividido por algo que se aproxima de 3 dá infinito positivo.

Passo 4

Alternativa curta e direta (intuição por termos dominantes): para x grande os termos dominantes são 8x^{4} no numerador e 3x^{2} no denominador, então a fração se comporta como
\frac{8x^{4}}{3x^{2}}=\frac{8}{3}x^{2},
e \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{8}{3}x^{2}=+\infty. Isso confirma o resultado do passo anterior.

Passo 5

Conclusão e interpretação: como o grau do numerador é maior que o do denominador (diferença de 2), a fração cresce como uma constante vezes x^{2} quando x\to\infty, e o sinal é positivo porque os coeficientes líderes ( 8 e 3) e x^{2} são positivos para x grande. Logo o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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