\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x-3}=

Passo 1

Enunciado: calcular \lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x-3}.\n
Informações dadas: o argumento é a função \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x-3} e o limite pedido é quando x tende para +\infty.\n
O que se pede: encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Observação útil (releitura da expressão): podemos separar a potência para facilitar, escrevendo
\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x-3}=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\cdot\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-3}.
Essa reescrita é apenas a propriedade das potências: \,a^{b-c}=a^b\cdot a^{-c}\, aplicada a a=1+\frac{1}{x}, b=x, c=3. A ideia será achar o limite de cada fator.

Passo 3

Calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x — resultado clássico que dá e. Vou provar isso de forma clara.
Defina y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x. Para estudar y é comum tomar logaritmo natural, porque o expoente x aparece multiplicando um logaritmo:
\ln y = x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Faça a substituição u=\frac{1}{x}. Quando x\to+\infty temos u\to 0^+. Reescrevendo:
\ln y = \frac{\ln(1+u)}{u}.
Agora avaliaremos \displaystyle\lim_{u\to 0^+}\frac{\ln(1+u)}{u}. Esse é um limite do tipo \frac{0}{0}, então podemos usar L’Hôpital ou observar a expansão de \ln(1+u). Pelo L’Hôpital:
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=\lim_{u\to 0}\frac{\frac{d}{du}\ln(1+u)}{\frac{d}{du}u} =\lim_{u\to 0}\frac{1}{1+u}=1.
Portanto \ln y\to 1 quando x\to+\infty. Exponenciando ambos os lados, obtemos
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = \mathrm{e}^1 = \mathrm{e}.
Comentário didático rápido: a ideia principal foi transformar a potência em produto com log e usar que \ln(1+u)\sim u quando u é pequeno, ou L’Hôpital, que formaliza isso.

Passo 4

Calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-3}.
Aqui o expoente é constante ( -3). Observe que \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)=1 porque \frac{1}{x}\to 0. A função t\mapsto t^{-3} é contínua em t=1, logo podemos passar o limite para dentro da função:
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-3}=1^{-3}=1.
(Intuição: uma base que tende a 1, elevada a potência fixa, tende a 1.)

Passo 5

Usar o produto de limites: se \lim_{x\to a}f(x)=L e \lim_{x\to a}g(x)=M com L,M finitos, então \lim_{x\to a} f(x)g(x)=LM.
Aplicando ao nosso caso, dos Passos 3 e 4 temos
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = \mathrm{e} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-3}=1.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x-3} =\mathrm{e}\cdot 1=\mathrm{e}.

Passo 6

Resumo rápido e incentivo: vimos que o fator com x no expoente entrega e (é o limite clássico que define e) e o fator com expoente fixo não altera o limite (vai para 1). No conjunto, o limite é \mathrm{e}. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo!

Resposta

\mathrm{e}

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