Passo 1
Enunciado: calcular
.\n
Informações dadas: o argumento é a função e o limite pedido é quando
tende para
.\n
O que se pede: encontrar o valor numérico desse limite.
Informações dadas: o argumento é a função
O que se pede: encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Observação útil (releitura da expressão): podemos separar a potência para facilitar, escrevendo
Essa reescrita é apenas a propriedade das potências:
aplicada a
,
,
. A ideia será achar o limite de cada fator.
Passo 3
Calcular
— resultado clássico que dá
. Vou provar isso de forma clara.
Defina
. Para estudar
é comum tomar logaritmo natural, porque o expoente
aparece multiplicando um logaritmo:
Faça a substituição
. Quando
temos
. Reescrevendo:
Agora avaliaremos
. Esse é um limite do tipo
, então podemos usar L’Hôpital ou observar a expansão de
. Pelo L’Hôpital:
Portanto
quando
. Exponenciando ambos os lados, obtemos
Comentário didático rápido: a ideia principal foi transformar a potência em produto com log e usar que
quando
é pequeno, ou L’Hôpital, que formaliza isso.
Passo 4
Calcular
.
Aqui o expoente é constante (
). Observe que
porque
. A função
é contínua em
, logo podemos passar o limite para dentro da função:
(Intuição: uma base que tende a
, elevada a potência fixa, tende a
.)
Passo 5
Usar o produto de limites: se
e
com
finitos, então
.
Aplicando ao nosso caso, dos Passos 3 e 4 temos
Portanto
Passo 6
Resumo rápido e incentivo: vimos que o fator com
no expoente entrega
(é o limite clássico que define
) e o fator com expoente fixo não altera o limite (vai para
). No conjunto, o limite é
. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo!