\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{\operatorname{arccos} (2-x)}{x^{2}-4 x+4}\right)=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 2}\left(\frac{\operatorname{arccos}(2-x)}{x^{2}-4x+4}\right).
Informações dadas e observações iniciais (apenas listando o que aparece no enunciado):
  • O numerador é \operatorname{arccos}(2-x).
  • O denominador é x^{2}-4x+4.
  • O ponto onde calculamos o limite é x=2.
    Nada mais será resolvido neste passo; apenas organizei o que o problema fornece.

Passo 2

Avaliar o limite do numerador isoladamente:
\lim_{x\to 2}\operatorname{arccos}(2-x).
Substituindo x=2 dentro do argumento temos 2-x=0. A função \operatorname{arccos}(u) é contínua em u=0, logo
\lim_{x\to 2}\operatorname{arccos}(2-x)=\operatorname{arccos}(0)=\frac{\pi}{2}.
Explicação curta sobre continuidade: dizer que \operatorname{arccos} é contínua em 0 significa que, quando o argumento 2-x se aproxima de 0, o valor \operatorname{arccos}(2-x) se aproxima de \operatorname{arccos}(0). Aqui isso garante que o numerador tende a uma constante não nula, \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Avaliar o limite do denominador isoladamente:
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
Como (x-2)^{2}\ge 0 para todo x e (x-2)^{2}\to 0 quando x\to 2, temos
\lim_{x\to 2}(x^{2}-4x+4)=0.
Além disso, para x\neq 2 suficientemente próximo de 2, (x-2)^{2}>0 (ou seja, o denominador é estritamente positivo nas vizinhanças de 2, exceto exatamente em 2).

Passo 4

Agora combine os comportamentos:
  • O numerador tende para a constante positiva \tfrac{\pi}{2}\neq 0.
  • O denominador tende para 0 e é positivo para x próximos (mas não iguais) a 2.
Quando uma fração tem numerador tendendo a uma constante não nula e denominador tendendo a 0, o quociente tende a infinito em magnitude. O sinal do infinito é determinado pelo sinal do numerador e do denominador próximos de x=2. Como a constante limite do numerador é \tfrac{\pi}{2}>0 e o denominador é positivo próximo de 2, o quociente tende para +\infty.

Passo 5

Comentário didático adicional (para você repetir na prova): uma forma segura de ver isso é fazer a substituição t=x-2. Então x\to2 equivale a t\to 0 e a expressão vira
\frac{\operatorname{arccos}(-t)}{t^{2}}.
Como \operatorname{arccos}(-t)\to\operatorname{arccos}(0)=\tfrac{\pi}{2} quando t\to 0, temos um número aproximando-se de \tfrac{\pi}{2} dividido por t^{2} que vai para 0^{+}, o que manda o quociente para +\infty. Isso reforça a conclusão anterior de forma concreta.

Resposta

+\infty

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