Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais (apenas listando o que aparece no enunciado):
- O numerador é
. - O denominador é
. - O ponto onde calculamos o limite é
.
Nada mais será resolvido neste passo; apenas organizei o que o problema fornece.
Passo 2
Avaliar o limite do numerador isoladamente:
Substituindo
dentro do argumento temos
. A função
é contínua em
, logo
Explicação curta sobre continuidade: dizer que
é contínua em
significa que, quando o argumento
se aproxima de
, o valor
se aproxima de
. Aqui isso garante que o numerador tende a uma constante não nula,
.
Passo 3
Avaliar o limite do denominador isoladamente:
Como
para todo
e
quando
, temos
Além disso, para
suficientemente próximo de
,
(ou seja, o denominador é estritamente positivo nas vizinhanças de
, exceto exatamente em
).
Passo 4
Agora combine os comportamentos:
- O numerador tende para a constante positiva
. - O denominador tende para
e é positivo para próximos (mas não iguais) a .
Quando uma fração tem numerador tendendo a uma constante não nula e denominador tendendo a
, o quociente tende a infinito em magnitude. O sinal do infinito é determinado pelo sinal do numerador e do denominador próximos de
. Como a constante limite do numerador é
e o denominador é positivo próximo de
, o quociente tende para
.
Passo 5
Comentário didático adicional (para você repetir na prova): uma forma segura de ver isso é fazer a substituição
. Então
equivale a
e a expressão vira
Como
quando
, temos um número aproximando-se de
dividido por
que vai para
, o que manda o quociente para
. Isso reforça a conclusão anterior de forma concreta.