\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin 2 x^{2}+\sin 5 x \cdot \sin 7 x}{6 x^{2}}\right)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x\to 0:
\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin 2 x^{2}+\sin 5 x \cdot \sin 7 x}{6 x^{2}}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve funções seno pequenas (argumentos que vão a zero quando x\to 0).
  • O denominador é 6x^{2}, portanto termos de ordem x^{2} no numerador serão os importantes para o limite.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar: o limite clássico
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Explicação didática rápida: para u muito pequeno, vale a aproximação por série de Taylor
\sin u = u - \frac{u^{3}}{6} + o(u^{3}),
logo
\frac{\sin u}{u}=1 - \frac{u^{2}}{6} + o(u^{2})\longrightarrow 1\quad (u\to 0).
Essa propriedade permite que, quando um seno tem um argumento que tende a zero, a gente substitua \sin u por u na ordem dominante para calcular limites.

Passo 3

Vamos separar os dois termos do numerador e tratar cada um individualmente:
\frac{\sin 2 x^{2}+\sin 5 x \cdot \sin 7 x}{6 x^{2}} = \frac{\sin 2 x^{2}}{6 x^{2}}+\frac{\sin 5 x \cdot \sin 7 x}{6 x^{2}}.

Passo 4

Tratar o primeiro termo usando a fatoração que cria a forma \dfrac{\sin u}{u}:
\frac{\sin 2x^{2}}{6x^{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{\sin 2x^{2}}{2x^{2}}.
Como 2x^{2}\to 0 quando x\to 0, pela propriedade do passo anterior
\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x^{2}}{2x^{2}}=1.
Portanto o primeiro termo tende a
\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.

Passo 5

Tratar o segundo termo escrevendo-o como produto de razões do tipo \dfrac{\sin u}{u}:
\frac{\sin 5x\cdot\sin 7x}{6x^{2}} = \left(\frac{\sin 5x}{5x}\right)\left(\frac{\sin 7x}{7x}\right)\cdot\frac{5\cdot 7}{6}.
Agora, quando x\to 0 temos \dfrac{\sin 5x}{5x}\to 1 e \dfrac{\sin 7x}{7x}\to 1. Logo o segundo termo tende a
1\cdot 1\cdot\frac{35}{6}=\frac{35}{6}.

Passo 6

Somando os limites dos dois termos (soma de limites é limite da soma, quando existem):
\frac{1}{3}+\frac{35}{6}.
Fazer a soma com denominador comum 6:
\frac{1}{3}=\frac{2}{6}, \qquad \frac{2}{6}+\frac{35}{6}=\frac{37}{6}.

Resposta

\dfrac{37}{6}

Exercícios relacionados