Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão envolve funções seno pequenas (argumentos que vão a zero quando
). - O denominador é
, portanto termos de ordem no numerador serão os importantes para o limite.
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar: o limite clássico
Explicação didática rápida: para
muito pequeno, vale a aproximação por série de Taylor
logo
Essa propriedade permite que, quando um seno tem um argumento que tende a zero, a gente substitua
por
na ordem dominante para calcular limites.
Passo 3
Vamos separar os dois termos do numerador e tratar cada um individualmente:
Passo 4
Tratar o primeiro termo usando a fatoração que cria a forma
:
Como
quando
, pela propriedade do passo anterior
Portanto o primeiro termo tende a
Passo 5
Tratar o segundo termo escrevendo-o como produto de razões do tipo
:
Agora, quando
temos
e
. Logo o segundo termo tende a
Passo 6
Somando os limites dos dois termos (soma de limites é limite da soma, quando existem):
Fazer a soma com denominador comum
: