\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\tan 2 x}{2 x}\right)=

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular o limite
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\tan 2x}{2x}\right).
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{\tan 2x}{2x}.
  • A variável x tende para \dfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Faço uma mudança de variável simples para simplificar a visão do problema: defino t=2x. Quando x\to \dfrac{\pi}{2} temos t\to \pi. Reescrevendo a expressão:
\frac{\tan 2x}{2x}=\frac{\tan t}{t}
e o limite fica
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\tan 2x}{2x}=\lim_{t\to \pi}\frac{\tan t}{t}.

Passo 3

Agora penso nas propriedades de limite que posso usar. A função \tan t é a razão \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}. Seno e cosseno são funções contínuas em todo lugar, e em particular \cos \pi=-1\neq 0. Como o denominador de \tan t não se anula em t=\pi, a função \tan t é contínua em t=\pi.
Regra usada (explicação didática): se f e g são funções contínuas em um ponto a e g(a)\neq 0, então \dfrac{f}{g} é contínua em a, e portanto
\lim_{t\to a}\frac{f(t)}{g(t)}=\frac{f(a)}{g(a)}.
Aplicando isso com f(t)=\sin t e g(t)=\cos t em a=\pi, segue que \tan t é contínua em t=\pi.

Passo 4

Pelo raciocínio de continuidade e pela propriedade de limite do quociente (desde que o limite do denominador não seja zero), posso avaliar o limite por substituição direta:
\lim_{t\to \pi}\frac{\tan t}{t}=\frac{\tan \pi}{\pi}.

Passo 5

Calculo os valores envolvidos: \tan \pi=\dfrac{\sin \pi}{\cos \pi}=\dfrac{0}{-1}=0. Portanto
\frac{\tan \pi}{\pi}=\frac{0}{\pi}=0.

Passo 6

Complemento didático (para evitar confusão): nada contradiz o uso direto aqui porque o denominador tende a \pi\neq 0. Isso é diferente do caso clássico \lim_{u\to 0}\dfrac{\tan u}{u}=1, que é outro tipo de situação onde tanto numerador quanto denominador tendem a zero.

Resposta

0

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