\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{6-6 x}{\sqrt{x^{2}-2 x+1}}\right)=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\left(\frac{6-6x}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}\right).
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{6-6x}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}.
  • O ponto de interesse é x\to 1.

Passo 2

Primeiro faço uma simplificação algébrica do numerador e do radicando. Note que
6-6x=6(1-x)=-6(x-1).
E o radicando é um quadrado perfeito:
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.

Passo 3

Explico uma propriedade importante da raiz quadrada: para todo número real t vale
\sqrt{t^{2}}=|t|,
onde |t| é o valor absoluto de t. Aplicando isso ao nosso caso com t=x-1, obtemos
\sqrt{(x-1)^{2}}=|x-1|.
Lembrete sobre valor absoluto (útil para a prova): |u|=u se u\ge 0 e |u|=-u se u<0. Isso traduz o sinal de u.

Passo 4

Usando as simplificações, reescrevo a expressão do limite:
\frac{6-6x}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}=\frac{-6(x-1)}{|x-1|}.
Logo o integrando é
-6\cdot\frac{x-1}{|x-1|}.
A fração \dfrac{x-1}{|x-1|} é justamente a função sinal de x-1: ela vale -1 quando x-1<0 e +1 quando x-1>0. Por isso é natural calcular os limites laterais.

Passo 5

Calculo o limite pela esquerda ( x\to 1^{-}). Nesse caso x-1<0, então |x-1|=-(x-1). Substituindo:
\frac{-6(x-1)}{|x-1|}=\frac{-6(x-1)}{-(x-1)}=6.
Portanto
\lim_{x\to 1^{-}}\left(\frac{6-6x}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}\right)=6.

Passo 6

Calculo o limite pela direita ( x\to 1^{+}). Agora x-1>0, então |x-1|=x-1. Substituindo:
\frac{-6(x-1)}{|x-1|}=\frac{-6(x-1)}{x-1}=-6.
Portanto
\lim_{x\to 1^{+}}\left(\frac{6-6x}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}\right)=-6.

Passo 7

Conclusão: os limites laterais não são iguais ( 6 e -6), então o limite bilateral não existe. É importante na prova lembrar: para existir \lim_{x\to a} f(x) é necessário e suficiente que os dois limites laterais existam e sejam iguais.

Resposta

\lim_{x\to 1^{-}}\left(\dfrac{6-6x}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}\right)=6
\lim_{x\to 1^{+}}\left(\dfrac{6-6x}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}\right)=-6
\lim_{x\to 1}\left(\dfrac{6-6x}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}\right) não existe.

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