1. \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\ln x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0^{+}}\Bigl(\frac{1}{x}-\ln x\Bigr).
Esse limite é da forma “ +\infty - (-\infty)”, então precisamos reescrever para quebrar a indeterminação usando substituição ou comparação de ordens de crescimento.

Passo 2

Façamos a mudança de variável
t = \frac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1}{t},\quad x\to0^+\Rightarrow t\to+\infty.
Além disso,
\ln x = \ln\!\Bigl(\tfrac{1}{t}\Bigr) = -\ln t.
Substituindo em \tfrac1x - \ln x, obtemos
\frac{1}{x}-\ln x = t + \ln t.

Passo 3

Agora avaliamos
\lim_{t\to+\infty}(t + \ln t).
Sabemos que t\to+\infty e \ln t\to+\infty, mas t cresce muito mais rápido que \ln t. Logo a soma diverge para +\infty:
\lim_{t\to+\infty}(t + \ln t) = +\infty.

Resposta

\lim_{x\to 0^{+}}\Bigl(\tfrac{1}{x}-\ln x\Bigr) = +\infty.

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