(1,0 pontos) Considere as equações paramétricas:
Qual a trajetória que estas equações representam?
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pergunta qual é a trajetória (isto é, a curva no plano
) descrita por esses pontos quando
varia. Informações relevantes fornecidas:
- As expressões para
e em função do parâmetro . - Não há restrição explícita em
(assume-se ). - Procura-se a forma cartesiana da curva e sua descrição geométrica.]
Passo 2
Eliminar o parâmetro somando as duas equações. Usar a identidade trigonométrica fundamental
. Somando
e
obtém-se:
Portanto qualquer ponto
da trajetória satisfaz
Passo 3
Explicar por que não é qualquer reta inteira, e sim um segmento. Observação sobre os valores possíveis de
e
:
- Para qualquer
tem-se e .
Logo
Juntando com a equação da reta, a trajetória está contida na interseção da reta
, com o quadrado
. Essa interseção é exatamente o segmento de reta que une os pontos
e
.
Passo 4
Mostrar que todo ponto desse segmento é realmente alcançado por algum
(ou seja, a curva cobre todo o segmento). Dado um
, defina
e escolha
Então
e
. Assim o ponto
é realmente atingido por esse
. Portanto todo ponto do segmento entre
e
é descrito pelas paramétricas.
Passo 5
Comportamento quando
varia (orientação e repetição): exemplos rápidos
- Para
: . - Para
: .
No intervaloo ponto move-se continuamente de para . Como e são periódicas, para o ponto volta a percorrer o segmento, indo e vindo indefinidamente. Portanto a trajetória geométrica é o segmento de reta mencionado, percorrido repetidamente conforme aumenta.
Passo 6
Resumo didático rápido: a eliminação do parâmetro via a identidade pitagórica levou à equação cartesiana simples
. A análise dos intervalos de
e
mostrou que apenas a parte desse reta dentro do primeiro quadrante, isto é entre
e
, é atingida. Isso é típico: quando variáveis paramétricas são quadrados de seno/cosseno, a soma costuma dar 1 e os valores ficam entre 0 e 1.
Resposta
Segmento da reta
, com
(entre os pontos
e
).