(1,0 pontos) Considere as equações paramétricas:
\left\{\begin{array}{l} x=\operatorname{sen}^{2}(t) \\\ y=\cos ^{2}(t) \end{array}\right.
Qual a trajetória que estas equações representam?

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
\left\{\begin{array}{l} x=\operatorname{sen}^{2}(t)\\[4pt] y=\cos^{2}(t) \end{array}\right.
e pergunta qual é a trajetória (isto é, a curva no plano xy) descrita por esses pontos quando t varia. Informações relevantes fornecidas:
  • As expressões para x e y em função do parâmetro t.
  • Não há restrição explícita em t (assume-se t\in\mathbb{R}).
  • Procura-se a forma cartesiana da curva e sua descrição geométrica.]

Passo 2

Eliminar o parâmetro somando as duas equações. Usar a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}t+\cos^{2}t=1. Somando x e y obtém-se:
x+y=\operatorname{sen}^{2}(t)+\cos^{2}(t)=1.
Portanto qualquer ponto (x,y) da trajetória satisfaz
x+y=1.

Passo 3

Explicar por que não é qualquer reta inteira, e sim um segmento. Observação sobre os valores possíveis de x e y:
  • Para qualquer t tem-se \operatorname{sen}^{2}(t)\in[0,1] e \cos^{2}(t)\in[0,1].
    Logo
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 1.
Juntando com a equação da reta, a trajetória está contida na interseção da reta \,x+y=1, com o quadrado [0,1]\times[0,1]. Essa interseção é exatamente o segmento de reta que une os pontos (0,1) e (1,0).

Passo 4

Mostrar que todo ponto desse segmento é realmente alcançado por algum t (ou seja, a curva cobre todo o segmento). Dado um x\in[0,1], defina u=\sqrt{x}\in[0,1] e escolha
t=\arcsin(u).
Então \operatorname{sen}^{2}(t)=\big(\sin t\big)^{2}=u^{2}=x e \cos^{2}(t)=1-x. Assim o ponto (x,1-x) é realmente atingido por esse t. Portanto todo ponto do segmento entre (0,1) e (1,0) é descrito pelas paramétricas.

Passo 5

Comportamento quando t varia (orientação e repetição): exemplos rápidos
  • Para t=0: (x,y)=(0,1).
  • Para t=\tfrac{\pi}{2}: (x,y)=(1,0).
    No intervalo t\in[0,\tfrac{\pi}{2}] o ponto move-se continuamente de (0,1) para (1,0). Como \sin^{2} e \cos^{2} são periódicas, para t>\tfrac{\pi}{2} o ponto volta a percorrer o segmento, indo e vindo indefinidamente. Portanto a trajetória geométrica é o segmento de reta mencionado, percorrido repetidamente conforme t aumenta.

Passo 6

Resumo didático rápido: a eliminação do parâmetro via a identidade pitagórica levou à equação cartesiana simples \,x+y=1. A análise dos intervalos de \operatorname{sen}^{2} e \cos^{2} mostrou que apenas a parte desse reta dentro do primeiro quadrante, isto é entre (0,1) e (1,0), é atingida. Isso é típico: quando variáveis paramétricas são quadrados de seno/cosseno, a soma costuma dar 1 e os valores ficam entre 0 e 1.

Resposta

Segmento da reta \,x+y=1, com 0\le x\le1 (entre os pontos (0,1) e (1,0)).

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