b) Seja A=\left\{x \in \mathbb{R} ; x^{2}+x-1<0\right\}. Determine \sup A e \inf A.

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar o conjunto \displaystyle A = \{x\in\mathbb{R}\mid x^2 + x - 1<0\}
e, a partir daí, determinar \inf A e \sup A. O plano é: (1) achar as raízes de x^2+x-1=0 e (2) usar o sinal da parábola para ver onde ela fica negativa.

Passo 2

Calculamos as raízes de
x^2 + x - 1 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara,
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.
Chamemos \displaystyle r_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}
e \displaystyle r_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}.

Passo 3

Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima. Então
x^2 + x - 1 < 0
exatamente para
r_1 < x < r_2.
Logo A = (r_1, r_2).

Passo 4

Num intervalo aberto (r_1,r_2), o menor ponto-limite é r_1 e o maior é r_2. Portanto
\inf A = r_1 \quad\text{e}\quad \sup A = r_2.

Resposta

\displaystyle \inf A = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2},\quad \sup A = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}.

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