\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x+378}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+378}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}.
Para resolver, vamos usar a fatoração de x dentro das raízes e as propriedades de limites.

Passo 2

Na raiz do numerador fatoramos x:
\sqrt{x+378} = \sqrt{x}\,\sqrt{1 + \frac{378}{x}}.
No denominador, fatoramos x e escrevemos \sqrt{x} = x^{1/2}:
\sqrt{x + \sqrt{x}} = \sqrt{x}\,\sqrt{1 + \frac{\sqrt{x}}{x}} = \sqrt{x}\,\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}.

Passo 3

Substituindo na razão e cancelando \sqrt{x}:
\frac{\sqrt{x+378}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}} = \frac{\sqrt{x}\,\sqrt{1 + \tfrac{378}{x}}}{\sqrt{x}\,\sqrt{1 + \tfrac{1}{\sqrt{x}}}} = \sqrt{\frac{1 + \tfrac{378}{x}}{1 + \tfrac{1}{\sqrt{x}}}}.

Passo 4

Ao fazermos x \to +\infty, temos \tfrac{378}{x} \to 0 e \tfrac{1}{\sqrt{x}} \to 0. Portanto
\sqrt{\frac{1 + \tfrac{378}{x}}{1 + \tfrac{1}{\sqrt{x}}}} \longrightarrow \sqrt{\frac{1}{1}} = 1.

Resposta

1

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