Suponha que f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} é uma função real tal que f(x) é sempre racional, ou seja, f(x) \in \mathbb{Q} para todo x \in[a, b]. O que podemos dizer sobre f ?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função real
f:[a,b]\to\mathbb{R}
tal que para todo x\in[a,b] vale f(x)\in\mathbb{Q}. Queremos ver que, sob a hipótese natural de continuidade, f não pode variar — ou seja, deve ser constante.

Passo 2

Suponha que f seja contínua em [a,b] e que, por absurdo, não seja constante. Então existem x_1,x_2\in[a,b] com
f(x_1)\neq f(x_2).
Sem perda de generalidade, digamos
f(x_1)<f(x_2).

Passo 3

Como \mathbb{Q} é denso em \mathbb{R} mas também seu complemento (os irracionais) é denso, entre os números racionais f(x_1) e f(x_2) existe pelo menos um número irracional, digamos \alpha. Logo
f(x_1)<\alpha<f(x_2),
com \alpha\notin\mathbb{Q}.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, a condição de continuidade em [a,b] garante que existe c\in(x_1,x_2)\subset[a,b] tal que
f\text{(c)}=\alpha.
Mas isso contradiz o enunciado, que exige f\text{(c)}\in\mathbb{Q}.

Passo 5

Portanto nossa suposição de que f não fosse constante leva a contradição. Concluímos que, se f é contínua, ela só pode assumir um mesmo valor racional em todo o intervalo.

Resposta

A função contínua f só pode ser constante em [a,b]; isto é, existe q\in\mathbb{Q} tal que
f(x)=q\quad\text{para todo }x\in[a,b].

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