Suponha que
é uma função real tal que
é sempre racional, ou seja,
para todo
. O que podemos dizer sobre
?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função real
tal que para todo
vale
. Queremos ver que, sob a hipótese natural de continuidade,
não pode variar — ou seja, deve ser constante.
Passo 2
Suponha que
seja contínua em
e que, por absurdo, não seja constante. Então existem
com
Sem perda de generalidade, digamos
Passo 3
Como
é denso em
mas também seu complemento (os irracionais) é denso, entre os números racionais
e
existe pelo menos um número irracional, digamos
. Logo
com
.
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Intermediário, a condição de continuidade em
garante que existe
tal que
Mas isso contradiz o enunciado, que exige
.
Passo 5
Portanto nossa suposição de que
não fosse constante leva a contradição. Concluímos que, se
é contínua, ela só pode assumir um mesmo valor racional em todo o intervalo.
Resposta
A função contínua
só pode ser constante em
; isto é, existe
tal que