Passo 1
O que o problema pede e o que já temos.
- Pedem o valor do limite
. - Informação dada: a expressão é uma potência com base que tende a
quando e expoente que tende a . Esse é o tipo clássico de limite que costuma dar uma potência da base (a famosa forma ). - Objetivo: encontrar o número real para o qual a expressão converge quando
.
Passo 2
Estratégia geral (sem calcular ainda): usar o logaritmo natural para “trazer” o expoente para frente e transformar a potência num produto, calcular o limite do logaritmo e depois aplicar a função exponencial para recuperar o limite original.
Explicando por quê (de maneira simples): se
for o limite procurado e
, então
é o limite do
da expressão. A função
é contínua em
, então podemos escrever
Como
transforma potências em produtos, temos
Depois de achar
basta aplicar a função exponencial inversa:
.
Passo 3
Fazer uma substituição que deixe o limite numa forma padrão. Defina a variável
Quando
temos
. Reescrevendo o produto:
Portanto
Agora o problema reduziu a calcular
.
Passo 4
Calcular
. Vou explicar com duas maneiras curtas e didáticas; escolha a que te parece mais natural.
Método A — usando derivada (forma direta e breve):
- A derivada de uma função
no ponto é, por definição,
- Tomando
temos . Logo
- Calcule
. Assim . - Portanto
Método B — usando desigualdades (argumento por encadeamento, mais elementar):
- Para
é verdade que . Uma forma de ver isso é interpretar e comparar a função com constantes; ou estudar o sinal da função e seu comportamento. - Dividindo tudo por
(considerando ) obtemos
- Fazendo
os dois lados tendem a , logo pelo princípio do confronto
Ambas as maneiras mostram que o limite vale
.
Passo 5
Voltar ao cálculo de
e obter o limite final.
- Como
, da igualdade do Passo 3 segue
- Aplicando a exponencial para recuperar
:
Interpretação rápida e incentivo: a forma
para
sempre tende a
. Aqui
, então o crescimento é enorme — mas o raciocínio é o mesmo que aparece em limites básicos com
. Tu já sabe o truque principal: passar pelo log, usar a forma
e voltar com exp.