\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2026}{x}\right)^{x}

Passo 1

O que o problema pede e o que já temos.
  • Pedem o valor do limite \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{2026}{x}\right)^{x}.
  • Informação dada: a expressão é uma potência com base que tende a 1 quando x\to+\infty e expoente que tende a +\infty. Esse é o tipo clássico de limite que costuma dar uma potência da base e (a famosa forma (1+\tfrac{a}{x})^{x}).
  • Objetivo: encontrar o número real para o qual a expressão converge quando x\to+\infty.

Passo 2

Estratégia geral (sem calcular ainda): usar o logaritmo natural para “trazer” o expoente para frente e transformar a potência num produto, calcular o limite do logaritmo e depois aplicar a função exponencial para recuperar o limite original.
Explicando por quê (de maneira simples): se L for o limite procurado e L>0, então \ln L é o limite do \ln da expressão. A função \ln é contínua em (0,\infty), então podemos escrever
\ln L=\lim_{x\to+\infty}\ln\!\left(1+\frac{2026}{x}\right)^{x}.
Como \ln transforma potências em produtos, temos
\ln L=\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1+\frac{2026}{x}\right).
Depois de achar \ln L basta aplicar a função exponencial inversa: L=e^{\ln L}.

Passo 3

Fazer uma substituição que deixe o limite numa forma padrão. Defina a variável
u=\frac{2026}{x}.
Quando x\to+\infty temos u\to 0^+. Reescrevendo o produto:
x\ln\!\left(1+\frac{2026}{x}\right)=\frac{2026}{u}\ln(1+u)=2026\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}.
Portanto
\ln L=\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1+\frac{2026}{x}\right)=2026\cdot\lim_{u\to 0^+}\frac{\ln(1+u)}{u}.
Agora o problema reduziu a calcular \displaystyle \lim_{u\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \lim_{u\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}. Vou explicar com duas maneiras curtas e didáticas; escolha a que te parece mais natural.
Método A — usando derivada (forma direta e breve):
  • A derivada de uma função f no ponto 0 é, por definição,
f'(0)=\lim_{u\to0}\frac{f(0+u)-f(0)}{u}.
  • Tomando f(u)=\ln(1+u) temos f(0)=\ln 1=0. Logo
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=f'(0).
  • Calcule f'(u)=\dfrac{1}{1+u}. Assim f'(0)=\dfrac{1}{1+0}=1.
  • Portanto
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Método B — usando desigualdades (argumento por encadeamento, mais elementar):
  • Para u>-1 é verdade que \dfrac{u}{1+u}\le \ln(1+u)\le u. Uma forma de ver isso é interpretar \ln(1+u)=\int_0^{u}\dfrac{1}{1+t}\,dt e comparar a função 1/(1+t) com constantes; ou estudar o sinal da função g(u)=\ln(1+u)-u e seu comportamento.
  • Dividindo tudo por u>0 (considerando u\to0^+) obtemos
\frac{1}{1+u}\le\frac{\ln(1+u)}{u}\le 1.
  • Fazendo u\to0^+ os dois lados tendem a 1, logo pelo princípio do confronto
\lim_{u\to0^+}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Ambas as maneiras mostram que o limite vale 1.

Passo 5

Voltar ao cálculo de \ln L e obter o limite final.
  • Como \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1, da igualdade do Passo 3 segue
\ln L=2026\cdot 1=2026.
  • Aplicando a exponencial para recuperar L:
L=e^{\ln L}=e^{2026}.
Interpretação rápida e incentivo: a forma \left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{x} para x\to\infty sempre tende a e^{a}. Aqui a=2026, então o crescimento é enorme — mas o raciocínio é o mesmo que aparece em limites básicos com e. Tu já sabe o truque principal: passar pelo log, usar a forma \ln(1+u)/u\to1 e voltar com exp.

Resposta

e^{2026}

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