Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se calcular
. - A expressão é uma razão entre dois polinômios: numerador
e denominador . - O objetivo é encontrar o valor do limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Verificar a substituição direta e interpretar o resultado.
- Substituindo
no numerador:
- Substituindo
no denominador:
- Como obtemos a forma
, temos uma indeterminação. Isso significa que não dá para concluir o valor do limite por substituição direta; é preciso manipular a expressão algébrica para eliminar a indeterminação. - Método escolhido: fatoração e simplificação (método básico e elegante para limites de racionais quando há fator comum). Outra opção seria aplicar o Teorema de l’Hôpital, mas fatorar é mais direto aqui e usa apenas álgebra elementar.
Passo 3
Explicar e aplicar o teorema do fator e dividir o polinômio (fatorar o numerador).
- Teorema do resto/fator: se
para um polinômio , então é um fator de . Aqui , logo divide o numerador. - Vamos dividir o polinômio
por . Uso divisão sintética (rápida e prática):
Configurar coeficientes:
. Usando o valor
:
- Trago o
para baixo. - Multiplico
por e somo a : . - Multiplico
por e somo a : . - Multiplico
por e somo a : (resto zero, como esperado).
Os coeficientes do quociente são
, ou seja o quociente é
. Portanto
- Note que
é um quadrado perfeito: . Assim
Passo 4
Fatorar o denominador, cancelar o fator comum e interpretar o que fizemos.
- Denominador:
- Substituindo as fatorações na fração:
- Para
podemos simplificar cancelando o fator , obtendo a função equivalente (para ):
- Observação conceitual rápida: o cancelamento remove a indeterminação removível em
. O limite depende do comportamento da função próxima a , não do valor no ponto (que até podia estar indefinido). Após cancelar, conseguimos avaliar o limite por substituição.
Passo 5
Avaliar o limite da forma simplificada por substituição direta.
- Agora tomamos o limite da função simplificada:
- Substituindo
: