\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-5 x^{2}+7 x-3}{x^{2}-9}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se calcular \displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x^{3}-5x^{2}+7x-3}{x^{2}-9}.
  • A expressão é uma razão entre dois polinômios: numerador x^{3}-5x^{2}+7x-3 e denominador x^{2}-9.
  • O objetivo é encontrar o valor do limite quando x se aproxima de 3.

Passo 2

Verificar a substituição direta e interpretar o resultado.
  • Substituindo x=3 no numerador:
3^{3}-5\cdot3^{2}+7\cdot3-3=27-45+21-3=0.
  • Substituindo x=3 no denominador:
3^{2}-9=9-9=0.
  • Como obtemos a forma \frac{0}{0}, temos uma indeterminação. Isso significa que não dá para concluir o valor do limite por substituição direta; é preciso manipular a expressão algébrica para eliminar a indeterminação.
  • Método escolhido: fatoração e simplificação (método básico e elegante para limites de racionais quando há fator comum). Outra opção seria aplicar o Teorema de l’Hôpital, mas fatorar é mais direto aqui e usa apenas álgebra elementar.

Passo 3

Explicar e aplicar o teorema do fator e dividir o polinômio (fatorar o numerador).
  • Teorema do resto/fator: se f(a)=0 para um polinômio f(x), então (x-a) é um fator de f(x). Aqui f(3)=0, logo (x-3) divide o numerador.
  • Vamos dividir o polinômio x^{3}-5x^{2}+7x-3 por (x-3). Uso divisão sintética (rápida e prática):
Configurar coeficientes: 1,\\\ -5,\\\ 7,\\\ -3. Usando o valor 3:
  • Trago o 1 para baixo.
  • Multiplico 1 por 3 e somo a -5: -5+3=-2.
  • Multiplico -2 por 3 e somo a 7: 7+(-6)=1.
  • Multiplico 1 por 3 e somo a -3: -3+3=0 (resto zero, como esperado).
Os coeficientes do quociente são 1,\\\ -2,\\\ 1, ou seja o quociente é x^{2}-2x+1. Portanto
x^{3}-5x^{2}+7x-3=(x-3)\,(x^{2}-2x+1).
  • Note que x^{2}-2x+1 é um quadrado perfeito: x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}. Assim
x^{3}-5x^{2}+7x-3=(x-3)\,(x-1)^{2}.

Passo 4

Fatorar o denominador, cancelar o fator comum e interpretar o que fizemos.
  • Denominador:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
  • Substituindo as fatorações na fração:
\frac{x^{3}-5x^{2}+7x-3}{x^{2}-9}=\frac{(x-3)(x-1)^{2}}{(x-3)(x+3)}.
  • Para x\neq 3 podemos simplificar cancelando o fator (x-3), obtendo a função equivalente (para x\neq3):
\frac{(x-1)^{2}}{x+3}.
  • Observação conceitual rápida: o cancelamento remove a indeterminação removível em x=3. O limite depende do comportamento da função próxima a 3, não do valor no ponto x=3 (que até podia estar indefinido). Após cancelar, conseguimos avaliar o limite por substituição.

Passo 5

Avaliar o limite da forma simplificada por substituição direta.
  • Agora tomamos o limite da função simplificada:
\lim_{x\to 3}\frac{(x-1)^{2}}{x+3}.
  • Substituindo x=3:
\frac{(3-1)^{2}}{3+3}=\frac{2^{2}}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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