Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas / observações iniciais:
- A expressão dentro do logaritmo é
. - Quando
a forma interna é , ou seja, há uma indeterminação na expressão original (não está definida exatamente em ). - O objetivo é calcular o limite quando
se aproxima de (pela esquerda e pela direita).
Passo 2
Fazer uma simplificação algébrica para eliminar a indeterminação (isso é uma técnica básica que costuma resolver muitos limites).
- Fatore o numerador:
- Substitua na fração (válido para
):
Conclusão: para
a expressão dentro do logaritmo é igual a
. Ou seja,
Passo 3
Verificar domínio e continuidade do logaritmo para poder trocar limite e função (isso é uma regra útil: funções contínuas permitem fazer isso).
- A função
está definida e é contínua para todo . - Perto de
(por exemplo para em um intervalo ), temos . Logo a composição faz sentido numa vizinhança de (exceto exatamente em , onde a forma original estava indeterminada). - Como
é contínua em e a expressão interna tende a quando , pode-se aplicar a propriedade de continuidade:
Passo 4
Calcular o limite interno e aplicar o logaritmo.
- Primeiro calcule
- Aplicando a continuidade do logaritmo:
Portanto
Passo 5
(Método alternativo — caso prefira ver L’Hôpital)
Se alguém preferir usar L’Hôpital para confirmar o passo de simplificação:
Se alguém preferir usar L’Hôpital para confirmar o passo de simplificação:
- Observe a indeterminação
em . Aplicando a regra de L’Hôpital:
- Então o limite original é
, como obtido antes.