\lim _{x \rightarrow 1} \ln \left(\frac{x^{2}-1}{x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1} \ln\!\left(\frac{x^{2}-1}{x-1}\right).
Informações dadas / observações iniciais:
  • A expressão dentro do logaritmo é \dfrac{x^{2}-1}{x-1}.
  • Quando x=1 a forma interna é \dfrac{0}{0}, ou seja, há uma indeterminação na expressão original (não está definida exatamente em x=1).
  • O objetivo é calcular o limite quando x se aproxima de 1 (pela esquerda e pela direita).

Passo 2

Fazer uma simplificação algébrica para eliminar a indeterminação (isso é uma técnica básica que costuma resolver muitos limites).
  • Fatore o numerador:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
  • Substitua na fração (válido para x\neq 1):
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.
Conclusão: para x\neq 1 a expressão dentro do logaritmo é igual a x+1. Ou seja,
\ln\!\left(\frac{x^{2}-1}{x-1}\right)=\ln(x+1)\quad\text{para }x\neq 1.

Passo 3

Verificar domínio e continuidade do logaritmo para poder trocar limite e função (isso é uma regra útil: funções contínuas permitem fazer isso).
  • A função \ln(t) está definida e é contínua para todo t>0.
  • Perto de x=1 (por exemplo para x em um intervalo (0,2) ), temos x+1>0. Logo a composição faz sentido numa vizinhança de 1 (exceto exatamente em x=1, onde a forma original estava indeterminada).
  • Como \ln é contínua em t=2 e a expressão interna x+1 tende a 2 quando x\to1, pode-se aplicar a propriedade de continuidade:
\lim_{x\to 1}\ln(x+1)=\ln\!\left(\lim_{x\to 1}(x+1)\right).

Passo 4

Calcular o limite interno e aplicar o logaritmo.
  • Primeiro calcule
\lim_{x\to 1}(x+1)=1+1=2.
  • Aplicando a continuidade do logaritmo:
\lim_{x\to 1}\ln(x+1)=\ln(2).
Portanto
\lim_{x\to 1}\ln\!\left(\frac{x^{2}-1}{x-1}\right)=\ln(2).

Passo 5

(Método alternativo — caso prefira ver L’Hôpital)
Se alguém preferir usar L’Hôpital para confirmar o passo de simplificação:
  • Observe a indeterminação \dfrac{0}{0} em \dfrac{x^{2}-1}{x-1}. Aplicando a regra de L’Hôpital:
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{2x}{1}=2.
  • Então o limite original é \ln(2), como obtido antes.

Resposta

\ln(2)

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