Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende para
:
Informações dadas:
- A função dentro do logaritmo é
. - O domínio natural do logaritmo natural
é — a expressão dentro do deve ser positiva (ela é positiva para ). - O problema pede o limite quando
cresce sem limite para .
Passo 2
Vamos primeiro estudar o comportamento da fração
quando
. Uma técnica padrão é dividir numerador e denominador por
. Fazendo isso obtemos:
Essa expressão é mais conveniente para analisar o limite quando
, porque sabemos o que acontece com
.
Passo 3
Calcule o limite interno usando o fato de que
quando
. Assim
Então a quantidade dentro do logaritmo tende para
quando
cresce.
Passo 4
Agora usamos uma propriedade importante de limites e funções contínuas: se
quando
e
é contínua em
, então
A função
é contínua em todo ponto de
; em particular é contínua em
. Portanto podemos trocar o limite com o
:
Passo 5
Calcule
. Pelo conhecimento básico do logaritmo natural,
. Assim:
Passo 6
Para reforçar a intuição (útil na prova): a fração
é sempre menor que
para
, e está muito próxima de
quando
é grande. Podemos expandir para ver a taxa:
e então, usando a expansão
para
pequeno,
Isso confirma que o limite é
e mostra que a convergência é pela negativa (valores tendendo a
por baixo).