\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left(\frac{x}{x+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\to+\infty} \ln\!\left(\frac{x}{x+1}\right).
Informações dadas:
  • A função dentro do logaritmo é \dfrac{x}{x+1}.
  • O domínio natural do logaritmo natural \ln é (0,\infty) — a expressão dentro do \ln deve ser positiva (ela é positiva para x>0).
  • O problema pede o limite quando x cresce sem limite para +\infty.

Passo 2

Vamos primeiro estudar o comportamento da fração \dfrac{x}{x+1} quando x\to+\infty. Uma técnica padrão é dividir numerador e denominador por x. Fazendo isso obtemos:
\frac{x}{x+1}=\frac{x/x}{(x+1)/x}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{x}}.
Essa expressão é mais conveniente para analisar o limite quando x\to+\infty, porque sabemos o que acontece com \dfrac{1}{x}.

Passo 3

Calcule o limite interno usando o fato de que \dfrac{1}{x}\to 0 quando x\to+\infty. Assim
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x+1} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\dfrac{1}{x}} =\frac{1}{1+0}=1.
Então a quantidade dentro do logaritmo tende para 1 quando x cresce.

Passo 4

Agora usamos uma propriedade importante de limites e funções contínuas: se g(x)\to L quando x\to a e f é contínua em L, então
\lim_{x\to a} f(g(x)) = f\!\left(\lim_{x\to a} g(x)\right)=f(L).
A função \ln é contínua em todo ponto de (0,\infty); em particular é contínua em L=1. Portanto podemos trocar o limite com o \ln:
\lim_{x\to+\infty} \ln\!\left(\frac{x}{x+1}\right) = \ln\!\left(\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x+1}\right) = \ln(1).

Passo 5

Calcule \ln(1). Pelo conhecimento básico do logaritmo natural, \ln(1)=0. Assim:
\lim_{x\to+\infty} \ln\!\left(\frac{x}{x+1}\right)=0.

Passo 6

Para reforçar a intuição (útil na prova): a fração \dfrac{x}{x+1} é sempre menor que 1 para x>0, e está muito próxima de 1 quando x é grande. Podemos expandir para ver a taxa:
\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1},
e então, usando a expansão \ln(1+u)\approx u para u pequeno,
\ln\!\left(\frac{x}{x+1}\right)=\ln\!\left(1-\frac{1}{x+1}\right)\approx -\frac{1}{x+1}\to 0.
Isso confirma que o limite é 0 e mostra que a convergência é pela negativa (valores tendendo a 0 por baixo).

Resposta

0

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