Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas que vamos usar: a expressão dentro do log é a fração
. O ponto de interesse é
, ou seja, queremos saber o comportamento da expressão quando
se aproxima de
.
Passo 2
Verificamos o valor direto da fração em
para ver se dá para simplesmente substituir:
Logo a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso indica que devemos simplificar a expressão algébrica antes de avaliar o limite.
Passo 3
Fatoramos os polinômios quadráticos do numerador e do denominador. Vou mostrar passo a passo como fatorar quadráticos simples: procurar dois números cuja soma é o coeficiente de
e cujo produto é o termo independente.
Para o numerador
: números que somam
e multiplicam
são
e
. Portanto
Para o denominador
: números que somam
e multiplicam
são
e
. Assim
Passo 4
Substituindo as fatorações na fração temos, para
,
Como estamos calculando um limite e não avaliando exatamente em
, podemos cancelar o fator comum
(válido para todo
), obtendo a forma simplificada
Passo 5
Agora calculamos o limite da expressão simplificada quando
. Como a expressão
é contínua onde o denominador é diferente de zero, basta substituir
:
Passo 6
Usamos a propriedade de continuidade do logaritmo: a função
é contínua para
. Como o limite do argumento é
, vale
Para avaliar
note que
, portanto