\lim _{x \rightarrow-1} \log _{3} \frac{x^{2}+3 x+2}{x^{2}+5 x+4}=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to-1} \log_{3}\!\left(\frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}+5x+4}\right).
Informações dadas que vamos usar: a expressão dentro do log é a fração \dfrac{x^{2}+3x+2}{x^{2}+5x+4}. O ponto de interesse é x=-1, ou seja, queremos saber o comportamento da expressão quando x se aproxima de -1.

Passo 2

Verificamos o valor direto da fração em x=-1 para ver se dá para simplesmente substituir:
(-1)^{2}+3(-1)+2 = 1-3+2 = 0,
(-1)^{2}+5(-1)+4 = 1-5+4 = 0.
Logo a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. Isso indica que devemos simplificar a expressão algébrica antes de avaliar o limite.

Passo 3

Fatoramos os polinômios quadráticos do numerador e do denominador. Vou mostrar passo a passo como fatorar quadráticos simples: procurar dois números cuja soma é o coeficiente de x e cujo produto é o termo independente.
Para o numerador x^{2}+3x+2: números que somam 3 e multiplicam 2 são 1 e 2. Portanto
x^{2}+3x+2 = (x+1)(x+2).
Para o denominador x^{2}+5x+4: números que somam 5 e multiplicam 4 são 1 e 4. Assim
x^{2}+5x+4 = (x+1)(x+4).

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração temos, para x\neq-1,
\frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}+5x+4} = \frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+4)}.
Como estamos calculando um limite e não avaliando exatamente em x=-1, podemos cancelar o fator comum (x+1) (válido para todo x\neq-1), obtendo a forma simplificada
\frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}+5x+4} = \frac{x+2}{x+4}\quad\text{para }x\neq-1.

Passo 5

Agora calculamos o limite da expressão simplificada quando x\to-1. Como a expressão \dfrac{x+2}{x+4} é contínua onde o denominador é diferente de zero, basta substituir x=-1:
\lim_{x\to-1}\frac{x+2}{x+4} = \frac{(-1)+2}{(-1)+4} = \frac{1}{3}.

Passo 6

Usamos a propriedade de continuidade do logaritmo: a função \log_{3}(t) é contínua para t>0. Como o limite do argumento é \dfrac{1}{3}>0, vale
\lim_{x\to-1} \log_{3}\!\left(\frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}+5x+4}\right) = \log_{3}\!\left(\lim_{x\to-1}\frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}+5x+4}\right) = \log_{3}\!\left(\frac{1}{3}\right).
Para avaliar \log_{3}\!\left(\dfrac{1}{3}\right) note que \dfrac{1}{3}=3^{-1}, portanto
\log_{3}\!\left(\frac{1}{3}\right) = \log_{3}(3^{-1}) = -1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados