Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão dentro da potência é
. - O expoente é
. - Estamos fazendo
. - Ao observar os comportamentos:
quando e . Portanto a forma é do tipo , que é uma forma indeterminada e precisa ser tratada com cuidado para encontrar o limite.
Passo 2
Primeira manipulação algébrica para deixar a expressão numa forma que a gente conheça bem:
Também reescrevo o expoente como
Substituindo, a expressão fica
Intuição: o primeiro fator tem a forma padrão
quando
(que se relaciona com
), e o segundo fator é uma potência de algo que tende a
, então tende a
. Vou tornar isso rigoroso usando uma substituição.
Passo 3
Faço a substituição conveniente
. Quando
temos
. A expressão passa a ser
Posso escrever o logaritmo natural do limite para trabalhar mais facilmente. Seja
Se
(o que será o caso), então
existe e vale
Agora vou avaliar esse limite em duas partes: separar
em
e
.
Passo 4
Separe o limite do logaritmo em duas parcelas:
Analiso a segunda parcela primeiro: como
quando
, e
, temos
Agora a parcela principal
. Note que é uma forma
, reescrevo como uma razão para aplicar a regra de L’Hôpital:
Ao levar
isto é uma forma
, então podemos aplicar L’Hôpital. Diferenciando numerador e denominador em relação a
:
- Derivada do numerador
em relação a : (Aqui usei que .) - Derivada do denominador
é .
Fazendo a razão das derivadas:
Logo
Somando as duas parcelas do logaritmo:
Portanto
.
Passo 5
Interpretação final: o limite da expressão original é
. Uma forma rápida de ver isso sem L’Hôpital é lembrar o limite clássico
aqui com
e
; os pequenos ajustes constantes no expoente só afetam fatores que tendem a
, então o resultado é o mesmo.