Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas que eu vou usar:
- A expressão é uma potência em que a base depende de
e o expoente também depende de . - O limite é tomado quando
. - Para
grande a base tende a (porque e são ambos aproximadamente ), e o expoente tende a .
O que é pedido: determinar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Estratégia matemática padrão (explicando o porquê de forma didática): quando temos limites do tipo
, é muito útil tomar o logaritmo natural do termo e estudar o limite do logaritmo. Isso porque a exponenciação e o logaritmo são funções contínuas e inversas entre si; se conseguirmos calcular
então o limite original será a exponencial do resultado. Vou aplicar esse procedimento passo a passo. Nota rápida: tomar o log transforma uma potência em um produto, o que simplifica muito limites onde o expoente diverge.
Passo 3
Faço o logaritmo natural da expressão e uso a propriedade
:
Então o problema reduz-se a calcular
Passo 4
Simplifico a fração dentro do logaritmo de forma exata para ver a pequena diferença em relação a
. Observe que
Portanto posso escrever
Isto já deixou explícito que dentro do
temos um termo que tende a
(pois
quando
).
Passo 5
Agora uso o limite fundamental para
: quando
vale
Intuição rápida: para
pequeno a reta tangente a
em
é
, então
. Formalmente isso vem da expansão em série ou do limite da derivada. Vou aplicar essa ideia escolhendo
que satisfaz
quando
.
Passo 6
Reescrevo o produto usando
para poder aplicar
:
Agora analiso cada fator quando
:
-
por causa do limite fundamental do ln visto no passo anterior. -
porque subtrair de é irrelevante quando cresce sem limite.
Multiplicando em conjunto, o produto tende a.
Passo 7
Concluo que o limite do logaritmo é
:
Então, voltando da função logarítmica para a função exponencial (inversa do
), o limite original vale