\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x}+1-\sqrt{x}) \mid

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to +\infty}\big(\sqrt{x}+1-\sqrt{x}\big).
Informações dadas: a expressão dentro do parêntese é \sqrt{x}+1-\sqrt{x}. Há um símbolo de barra vertical final no enunciado, que parece ser um caractere extra; vou ignorá‑lo porque não afeta a expressão escrita entre parênteses. O limite é tomado quando x tende a +\infty.

Passo 2

Observe a expressão dentro do parêntese. Podemos agrupar termos semelhantes:
\sqrt{x}+1-\sqrt{x}.
As parcelas \sqrt{x} e -\sqrt{x} são idênticas em valor, uma positiva e outra negativa, portanto se cancelam (isso vale para qualquer x em que \sqrt{x} esteja definido, isto é, x\ge 0). Logo a expressão simplifica para a constante
\sqrt{x}+1-\sqrt{x}=1.

Passo 3

Explicando didaticamente por que esse cancelamento é legal: somar um número e em seguida subtrair exatamente o mesmo número sempre resulta em zero. Aqui o “número” é \sqrt{x} (que depende de x), mas para qualquer valor de x a soma \sqrt{x}+(-\sqrt{x}) é zero. Assim a expressão inteira não depende de x depois do cancelamento — é a função constante f(x)=1.

Passo 4

Agora use a propriedade de limites para funções constantes: se f(x)=c para todo x em algum domínio, então
\lim_{x\to +\infty} f(x)=c.
Aqui f(x)=1 para todo x\ge 0, logo
\lim_{x\to +\infty}\big(\sqrt{x}+1-\sqrt{x}\big)=1.

Resposta

1

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