Para medir uma resistência da ordem de grandeza de 600 ohms emprega-se o “método do voltímetro e amperímetro” tendo o voltímetro resistência \mathrm{R}_{\mathrm{v}}=20.000 ohms e o amperímetro \mathrm{R}_{\mathrm{a}}=3 ohms.
a) Indicar que montagem, a montante ou a jusante, dá melhor precisão.
b) Calcular os erros absoluto e percentual para a montagem escolhida.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) dizer qual montagem — “a montante” ou “a jusante” — dá melhor precisão para medir uma resistência da ordem de 600\\ \Omega; (b) calcular o erro absoluto e o erro percentual para a montagem escolhida.
Dados fornecidos:
R_x = 600\\ \Omega,\quad R_v = 20\,000\\ \Omega,\quad R_a = 3\\ \Omega.
Aqui R_x é a resistência desconhecida que queremos medir, R_v é a resistência interna do voltímetro e R_a é a resistência interna do amperímetro.

Passo 2

Vamos descrever claramente as duas montagens (explico em palavras para você visualizar):
  • Montagem a jusante (voltímetro “depois” do amperímetro): o amperímetro está em série com o resistor R_x; o voltímetro é ligado em paralelo apenas com R_x (ou seja, o voltímetro mede só a queda em R_x). Nesse arranjo o voltímetro, por ter resistência finita R_v, desvia uma corrente que também passa pelo amperímetro. Assim o amperímetro lê a corrente total (corrente pelo R_x mais a corrente pelo voltímetro). Esse desvio faz o valor calculado R_{meas}=V/I_{lido} ficar menor que R_x.
  • Montagem a montante (voltímetro “antes” do amperímetro): o voltímetro é ligado de forma que mede a tensão total nos terminais do conjunto (ou seja, mede a tensão que aparece sobre R_x mais a pequena queda em R_a); o amperímetro permanece em série e mede a corrente que passa por R_x. Nesta montagem a corrente do voltímetro não passa pelo amperímetro (ela vai por um caminho paralelo), portanto o amperímetro mede apenas a corrente no ramo R_a+R_x. O efeito prático é que a resistência calculada R_{meas}=V/I tende a ser R_x+R_a, isto é, o resultado fica sistematicamente maior em aproximadamente R_a.
Agora vamos calcular as fórmulas de erro para cada caso e comparar.

Passo 3

Análise da montagem a jusante (volímetro em paralelo com R_x, amperímetro em série antes do ponto onde o voltímetro se liga).
Explicação física e fórmulas:
  • Seja V a tensão nos terminais de R_x (o voltímetro mede V).
  • A corrente pelo resistor é I_R = \dfrac{V}{R_x}.
  • A corrente pelo voltímetro é I_v = \dfrac{V}{R_v}.
  • O amperímetro, estando em série antes do ponto de derivação, lê a corrente total I_{lido} = I_R + I_v = \dfrac{V}{R_x} + \dfrac{V}{R_v} = V\left(\dfrac{1}{R_x}+\dfrac{1}{R_v}\right).
  • O valor que calculamos experimentalmente é R_{meas}=\dfrac{V}{I_{lido}}=\dfrac{V}{V\left(\dfrac{1}{R_x}+\dfrac{1}{R_v}\right)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{R_x}+\dfrac{1}{R_v}}=\dfrac{R_x R_v}{R_x+R_v}.
Essa é a resistência equivalente da associação R_x em paralelo com R_v, porque o voltímetro desvia corrente.
Agora substituímos os números:
R_{meas}=\dfrac{600\cdot 20\,000}{600+20\,000}=\dfrac{12\,000\,000}{20\,600}\\ \Omega.
Calculemos:
R_{meas}\approx 582{,}524271\\ \Omega.
Erro absoluto (definido como R_{meas}-R_x):
\Delta R = 582{,}524271-600 = -17{,}475729\\ \Omega\\ \approx -17{,}48\\ \Omega.
Erro percentual (relativo ao valor real R_x):
\%\\ \text{erro} = \dfrac{\Delta R}{R_x}\cdot 100\% = \dfrac{-17{,}475729}{600}\cdot100\% \approx -2{,}91\%.
Interpretação: o sinal negativo indica que o valor medido é menor que o real; o erro em módulo é cerca de 17{,}48\\ \Omega ou 2{,}91\%.

Passo 4

Análise da montagem a montante (voltímetro mede sobre R_x+R_a, ou seja mede a tensão total do ramo onde o amperímetro está em série com R_x).
Explicação física e fórmulas:
  • Suponha que a tensão fornecida pela fonte seja E. O voltímetro está ligado diretamente aos terminais da fonte (ou aos pontos que englobam R_a+R_x), portanto mede V=E.
  • A corrente no ramo amostrada pelo amperímetro é I=\dfrac{E}{R_x+R_a}.
  • O valor calculado experimentalmente será R_{meas}=\dfrac{V}{I}=\dfrac{E}{E/(R_x+R_a)}=R_x+R_a.
Observação importante: o fato do voltímetro ter resistência finita R_v não altera essa relação de primeira ordem porque a corrente do voltímetro vai por um caminho paralelo e não atravessa o amperímetro; o amperímetro mede só a corrente do ramo R_x+R_a.
Erro absoluto:
\Delta R = R_{meas}-R_x = R_a = 3\\ \Omega.
Erro percentual:
\%\\ \text{erro} = \dfrac{R_a}{R_x}\cdot100\% = \dfrac{3}{600}\cdot100\%=0{,}5\%.
Interpretação: o valor medido é maior que o real por 3\\ \Omega, isto é um erro de 0{,}5\%.

Passo 5

Comparação e escolha da montagem mais precisa:
  • Montagem a jusante: erro percentual aproximadamente -2{,}91\% (medida menor que o real).
  • Montagem a montante: erro percentual +0{,}5\% (medida maior que o real).
Conclusão: a montagem a montante dá muito melhor precisão neste caso, porque o erro causado pela resistência do amperímetro ( 3\\ \Omega) representa apenas 0{,}5\% de 600\\ \Omega, enquanto o efeito de desvio de corrente pelo voltímetro na montagem a jusante produz um erro de quase 3\%. Portanto escolhemos a montagem a montante e reportamos os erros calculados para ela.

Resposta

a) Montagem a montante
b) Erro absoluto =3\\ \Omega ; Erro percentual =0{,}5\%

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