(a) Mostre que a transformada de Fourier da função f(t)=1 / a,-a / 2 \leq t \leq a / 2, f(t)=0,|t|>a / 2, é a função F(\omega)=2 \frac{\sin (\omega a / 2)}{\omega a / 2}.
(b) Utilizando o teorema da convolução e outras propriedades das transformadas de Fourier, calcule a transformada inversa de
4\left(\frac{\sin (\omega a / 2)}{\omega a / 2}\right)^{2}.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede).\n
Dado:
f(t)=\begin{cases} \dfrac{1}{a}, & -\dfrac{a}{2}\le t\le \dfrac{a}{2},\\[6pt] 0, & |t|>\dfrac{a}{2}, \end{cases}
com a>0.\n
Pedidos:
  1. Mostrar que a transformada de Fourier de f(t) é
F(\omega)=2\,\frac{\sin\!\big(\omega a/2\big)}{\omega a/2}.
  1. Utilizando o teorema da convolução e outras propriedades, calcular a transformada inversa de
4\left(\frac{\sin(\omega a/2)}{\omega a/2}\right)^{2}.
Observação sobre convenção (importante para sinais e constantes): vou usar a convenção usual
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt \qquad\text{e}\qquad f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega.
Com essa convenção, produto no domínio da frequência corresponde à convolução no domínio do tempo sem fatores extra: se F= \mathcal{F}\{f\} e G=\mathcal{F}\{g\} então \mathcal{F}\{f*g\}=F\cdot G e \mathcal{F}^{-1}\{F\cdot G\}=f*g.]

Passo 2

Cálculo direto da transformada de Fourier de f(t) (começando a resolver a parte (a)).\n
Pelo suporte de f (só não nulo no intervalo [-a/2,a/2]) temos
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt =\int_{-a/2}^{a/2}\frac{1}{a}\,e^{-i\omega t}\,dt.
Aqui eu usei que f(t)=\dfrac{1}{a} nesse intervalo e zero fora.

Passo 3

Integrando a exponencial (passo por passo, sem pular etapas).\n
A integral é uma integral simples de exponencial:
F(\omega)=\frac{1}{a}\int_{-a/2}^{a/2} e^{-i\omega t}\,dt.
A primitiva de e^{-i\omega t} em t é \dfrac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} (para \omega\neq 0). Aplicando os limites:
F(\omega)=\frac{1}{a}\left[\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega}\right]_{t=-a/2}^{t=a/2} =\frac{1}{a}\cdot\frac{e^{-i\omega a/2}-e^{i\omega a/2}}{-i\omega}.

Passo 4

Transformando a diferença de exponenciais em seno (identidade de Euler) e simplificando.\n
Usamos a identidade e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta. Reescrevendo a diferença no numerador:
e^{-i\omega a/2}-e^{i\omega a/2} = -\big(e^{i\omega a/2}-e^{-i\omega a/2}\big) = -2i\sin\!\left(\frac{\omega a}{2}\right).
Substituindo na expressão de F(\omega):
F(\omega)=\frac{1}{a}\cdot\frac{-2i\sin(\omega a/2)}{-i\omega} =\frac{1}{a}\cdot\frac{2\sin(\omega a/2)}{\omega}.

Passo 5

Arrumando a forma em termos de \omega a/2 (introduzindo a função sinc habitual).\n
A expressão anterior pode ser reescrita agrupando a com \omega:
F(\omega)=\frac{2\sin(\omega a/2)}{\omega a} =\frac{\sin(\omega a/2)}{\omega a/2}.
A última forma usa a substituição \omega a/2 = x; a função \mathrm{sinc}(x) é frequentemente definida como \dfrac{\sin x}{x}. Assim
F(\omega)=\frac{\sin(\omega a/2)}{\omega a/2}.
(esta é exatamente a forma “sinc” normalizada).

Passo 6

Curtição didática rápida sobre o que acabou de acontecer (para você entender e usar na prova).\n
  • O que fizemos: usamos que f é constante num intervalo e zero fora, então a transformada é a integral da exponencial sobre esse intervalo — uma integral elementar.
  • A identidade de Euler e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta transforma diferenças de exponenciais em senos, que é o truque clássico para aparecer a função sinc.
  • Resultado prático: pulso retangular no tempo vira uma função sinc na frequência. Se o pulso tem área 1 (aqui 1/a em altura faz área 1), a amplitude da sinc fica adequada para representar essa normalização.

Passo 7

Preparação para a parte (b): ligar a transformada dada com convolução.\n
O item (b) pede a transformada inversa de
H(\omega)=4\left(\frac{\sin(\omega a/2)}{\omega a/2}\right)^{2}.
Observação: pela parte (a) identificamos
F(\omega)=\frac{\sin(\omega a/2)}{\omega a/2}=\mathcal{F}\{f\}( \omega ).
Então H(\omega)=4\,F(\omega)^{2}. Pela propriedade que relaciona produto na frequência com convolução no tempo, a transformada inversa de H(\omega) é
h(t)=\mathcal{F}^{-1}\{H\}(t)=\mathcal{F}^{-1}\{4F^{2}\}(t)=4\,(f*f)(t),
onde (f*f)(t) é a convolução de f consigo mesma:
(f*f)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,f(t-\tau)\,d\tau.

Passo 8

Cálculo explícito da convolução de duas retângulos (passo a passo, sem pular etapas).\n
Lembre que f(t)=\dfrac{1}{a} para |t|\le a/2 e 0 fora. Então f(\tau) é não nulo somente para \tau\in[-a/2,a/2] e f(t-\tau) é não nulo somente para \tau\in[t-a/2,t+a/2]. A integral da convolução reduz-se então à medida (comprimento) da interseção desses dois intervalos, multiplicada por \dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{a^{2}}. Logo
(f*f)(t)=\frac{1}{a^{2}}\times\text{(comprimento da interseção }[-a/2,a/2]\cap[t-a/2,t+a/2]\text{)}.çã
Agora determinamos a interseção dependendo de t:
  • Se |t|>a, os intervalos não se sobrepõem → comprimento 0.
  • Se |t|\le a, a sobreposição é um segmento de comprimento a-|t|. (Intuição geométrica: quando você desloca um retângulo de largura a por t, a sobreposição diminui linearmente com |t| até zero em |t|=a.)
Portanto, para |t|\le a,
(f*f)(t)=\frac{1}{a^{2}}\,(a-|t|)=\frac{1}{a}\left(1-\frac{|t|}{a}\right),
e para |t|>a, (f*f)(t)=0.

Passo 9

Voltando ao h(t)=4(f*f)(t)\) e escrevendo a resposta final do item (b).\n Multiplicando por \(4\), \[h(t)=4(f*f)(t)=\begin{cases} \dfrac{4}{a}\left(1-\dfrac{|t|}{a}\right), & |t|\le a,\\[6pt] 0, & |t|>a. \end{cases}
Isto é, a transformada inversa de 4\left(\dfrac{\sin(\omega a/2)}{\omega a/2}\right)^{2}\] é um triângulo com base \(2a (suporte em [-a,a]) e pico no tempo t=0 de altura \dfrac{4}{a}. A forma linear \left(1-\dfrac{|t|}{a}\right) é a rampa que descreve o triângulo.]

Resposta

(a) \displaystyle F(\omega)=\frac{\sin\!\big(\omega a/2\big)}{\omega a/2}.\)\n (b) \(\displaystyle \mathcal{F}^{-1}\!\left\{4\left(\frac{\sin(\omega a/2)}{\omega a/2}\right)^{2}\right\}(t) =\begin{cases} \dfrac{4}{a}\!\left(1-\dfrac{|t|}{a}\right), & |t|\le a,\\[6pt] 0, & |t|>a. \end{cases}]

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