(a) Mostre que a transformada de Fourier da função f(t)=1 / a,-a / 2 \leq t \leq a / 2, f(t)=0,|t|>a / 2, é a função F(\omega)=2 \frac{\sin (\omega a / 2)}{\omega a / 2}.
(b) Utilizando o teorema da convolução e outras propriedades das transformadas de Fourier, calcule a transformada inversa de 4\left(\frac{\sin (\omega a / 2)}{\omega a / 2}\right)^{2}.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede).\n
Dado:
Com essa convenção, produto no domínio da frequência corresponde à convolução no domínio do tempo sem fatores extra: se F= \mathcal{F}\{f\} e G=\mathcal{F}\{g\} então \mathcal{F}\{f*g\}=F\cdot G e \mathcal{F}^{-1}\{F\cdot G\}=f*g.]
Passo 2
Cálculo direto da transformada de Fourier de f(t) (começando a resolver a parte (a)).\n
Pelo suporte de f (só não nulo no intervalo [-a/2,a/2]) temos
Transformando a diferença de exponenciais em seno (identidade de Euler) e simplificando.\n
Usamos a identidade e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta. Reescrevendo a diferença no numerador:
A última forma usa a substituição \omega a/2 = x; a função \mathrm{sinc}(x) é frequentemente definida como \dfrac{\sin x}{x}. Assim
F(\omega)=\frac{\sin(\omega a/2)}{\omega a/2}.
(esta é exatamente a forma “sinc” normalizada).
Passo 6
Curtição didática rápida sobre o que acabou de acontecer (para você entender e usar na prova).\n
O que fizemos: usamos que f é constante num intervalo e zero fora, então a transformada é a integral da exponencial sobre esse intervalo — uma integral elementar.
A identidade de Euler e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta transforma diferenças de exponenciais em senos, que é o truque clássico para aparecer a função sinc.
Resultado prático: pulso retangular no tempo vira uma função sinc na frequência. Se o pulso tem área 1 (aqui 1/a em altura faz área 1), a amplitude da sinc fica adequada para representar essa normalização.
Passo 7
Preparação para a parte (b): ligar a transformada dada com convolução.\n
O item (b) pede a transformada inversa de
Cálculo explícito da convolução de duas retângulos (passo a passo, sem pular etapas).\n
Lembre que f(t)=\dfrac{1}{a} para |t|\le a/2 e 0 fora. Então f(\tau) é não nulo somente para \tau\in[-a/2,a/2] e f(t-\tau) é não nulo somente para \tau\in[t-a/2,t+a/2]. A integral da convolução reduz-se então à medida (comprimento) da interseção desses dois intervalos, multiplicada por \dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{a^{2}}. Logo
(f*f)(t)=\frac{1}{a^{2}}\times\text{(comprimento da interseção }[-a/2,a/2]\cap[t-a/2,t+a/2]\text{)}.çã
Agora determinamos a interseção dependendo de t:
Se |t|>a, os intervalos não se sobrepõem → comprimento 0.
Se |t|\le a, a sobreposição é um segmento de comprimento a-|t|. (Intuição geométrica: quando você desloca um retângulo de largura a por t, a sobreposição diminui linearmente com |t| até zero em |t|=a.)
Voltando ao h(t)=4(f*f)(t)\) e escrevendo a resposta final do item (b).\n
Multiplicando por \(4\),
\[h(t)=4(f*f)(t)=\begin{cases} \dfrac{4}{a}\left(1-\dfrac{|t|}{a}\right), & |t|\le a,\\[6pt] 0, & |t|>a. \end{cases}
Isto é, a transformada inversa de 4\left(\dfrac{\sin(\omega a/2)}{\omega a/2}\right)^{2}\] é um triângulo com base \(2a (suporte em [-a,a]) e pico no tempo t=0 de altura \dfrac{4}{a}. A forma linear \left(1-\dfrac{|t|}{a}\right) é a rampa que descreve o triângulo.]