Exercício 3. - vale 3 pontos. Seja
uma função dada, que suponhamos contínua em um ponto
. Suponha que
. Prove que existe um intervalo
tal que
para todo
. Dica: aplique a definição de função contínua e escolha de forma conveniente o valor
.
Em seguida, apresente um exemplo onde o resultado é falso no caso de uma função descontínua em
.
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma função
contínua em
tal que
. O objetivo é provar que existe um intervalo
onde
para todo
, usando a definição de continuidade.
Passo 2
Pela definição de continuidade em
sabemos que
Como
, seja
. Então existe
tal que, sempre que
, temos
.
Passo 3
Da desigualdade
obtemos em particular
Logo, para esse
vale
sempre que
, que é exatamente o que queríamos.
Passo 4
Para ver que o resultado pode falhar se
Aqui contém pontos
para os quais
. Assim não existe vizinhança de
onde
para todo
.
Resposta
Escolhendo
na definição de continuidade, obtemos um
tal que em
vale
. O contra-exemplo acima mostra que, sem continuidade em
, essa propriedade pode não valer.