Exercício 3. - vale 3 pontos. Seja f:(a, b) R uma função dada, que suponhamos contínua em um ponto c in(a, b). Suponha que f(c)<0. Prove que existe um intervalo I=(c-de<a, c+de<a) tal que f(x)<0 para todo x in I. Dica: aplique a definição de função contínua e escolha de forma conveniente o valor varepsilon.
Em seguida, apresente um exemplo onde o resultado é falso no caso de uma função descontínua em c.

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma função f:(a,b)toR contínua em cin(a,b) tal que f(c)<0. O objetivo é provar que existe um intervalo I=(c-de<a,c+de<a) onde f(x)<0 para todo xin I, usando a definição de continuidade.

Passo 2

Pela definição de continuidade em c sabemos que
forall varepsilon>0;;exists de<a>0tq |x-c|<de<aimplies |f(x)-f(c)|<varepsilon
Como f(c)<0, seja varepsilon=-f(c)>0. Então existe de<a>0 tal que, sempre que |x-c|<de<a, temos |f(x)-f(c)|<varepsilon.

Passo 3

Da desigualdade |f(x)-f(c)|<varepsilon obtemos em particular
f(x)<f(c)+varepsilon=f(c)+(-f(c))=0
Logo, para esse de<a vale f(x)<0 sempre que |x-c|<de<a, que é exatamente o que queríamos.

Passo 4

Para ver que o resultado pode falhar se
Aqui contém pontos para os quais . Assim não existe vizinhança de onde para todo .

Resposta

Escolhendo varepsilon=-f(c) na definição de continuidade, obtemos um de<a>0 tal que em I=(c-de<a,c+de<a) vale f(x)<0. O contra-exemplo acima mostra que, sem continuidade em c, essa propriedade pode não valer.

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