lim x 0 x-sen xx lg x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
limx to 0 x - sin xx ,lg x
Aqui vamos usar expansão em série de Taylor para sin x e a mudança de base de logaritmo (de base 10 para base e).

Passo 2

Como lg x=ln xln 10, o denominador fica
x,lg x = x,ln xln 10 = x,ln xln 10
Vale observar que esse logaritmo só existe para x>0, portanto estamos de fato calculando limxto0^+.

Passo 3

Expandindo sin x em torno de 0 até a ordem x^3:
sin x = x - x^36 + O(x^5)
Logo, o numerador é
x - sin x = x -l(x - x^36 + O(x^5)r) = x^36 + O(x^5)

Passo 4

Substituindo numerador e denominador na expressão do limite, obtemos
x - sin xx,lg x = x^36+O(x^5)x,ln xln 10 = ln 106,x^2ln x ;+; O!l(x^4ln xr)
Quando xto0^+, temos x^2to0 e ln xto -infty, de modo que
x^2ln x;longrightarrow;0
Portanto toda a expressão tende a zero.

Resposta

0

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