lim x 0^-(3 x+1x-1sen x)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto0^-l(3x+1x-1sen xr)
Este é um limite que envolve termos divergentes 1/x e 1/sen x, mas que podem cancelar-se. Vamos usar manipulação algébrica e a expansão de Taylor de sen x perto de zero.

Passo 2

Reescrevendo o primeiro quociente, temos
3x+1x=3+1x
Então a expressão dentro do limite fica
3+1x-1sen x

Passo 3

Agrupamos os termos divergentes:
3+l(1x-1sen xr) =3+sen x - xx;sen x

Passo 4

Perto de x=0, a expansão de Taylor é
sen x = x - x^36+o(x^3)
Logo
sen x - x = -x^36+o(x^3),
e
x,sen x = xl(x+o(x)r)=x^2+o(x^2)
Isto implica
sen x - xx,sen x approx -tfracx^36x^2 =-x6,longrightarrow0 quando xto0

Passo 5

Como l(sen x - x)/(x,sen x)to0, a expressão total tende a
3+0=3

Resposta

3

Exercícios relacionados