lim x 1 x^3-2 x+1x^2-1

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar o limite quando $ x $ se aproxima de 1 da função $ \frac{x^{3} - 2x + 1}{x^{2} - 1} $. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir $ x = 1 $ diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite facilmente.
Substituindo no numerador:
x = 1
Substituindo no denominador:
1^3 - 2 cdot 1 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0
Obtemos a forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação $ \frac{0}{0} $, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
Fatorando o numerador $ x^{3} - 2x + 1 $:
Vamos tentar encontrar um fator comum. Observamos que $ x = 1 $ é uma raiz porque já vimos que substituindo $ x = 1 $ o numerador é zero. Portanto, $ (x - 1) $ é um fator.
Dividindo $ x^{3} - 2x + 1 $ por $ (x - 1) $ obtemos:
00
Fatorando o denominador $ x^{2} - 1 $:
Reconhecemos isso como uma diferença de quadrados:
x^3 - 2x + 1

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
x^3 - 2x + 1x^2 - 1 = (x - 1)(x^2 + x - 1)(x - 1)(x + 1)
Podemos cancelar o fator comum $ (x - 1) $ tanto no numerador quanto no denominador:
(x - 1)

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo $ x = 1 $:
x = 1

Resposta

O limite é $ \frac{1}{2} $.

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