Passo 1
Neste exercício, queremos encontrar o limite quando $ x $ se aproxima de 1 da função $ \frac{x^{3} - 2x + 1}{x^{2} - 1} $. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e fatoração.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir $ x = 1 $ diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite facilmente.
Substituindo no numerador:
Substituindo no denominador:
Obtemos a forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.
Passo 3
Para eliminar a indeterminação $ \frac{0}{0} $, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
Fatorando o numerador $ x^{3} - 2x + 1 $:
Vamos tentar encontrar um fator comum. Observamos que $ x = 1 $ é uma raiz porque já vimos que substituindo $ x = 1 $ o numerador é zero. Portanto, $ (x - 1) $ é um fator.
Dividindo $ x^{3} - 2x + 1 $ por $ (x - 1) $ obtemos:
Vamos tentar encontrar um fator comum. Observamos que $ x = 1 $ é uma raiz porque já vimos que substituindo $ x = 1 $ o numerador é zero. Portanto, $ (x - 1) $ é um fator.
Dividindo $ x^{3} - 2x + 1 $ por $ (x - 1) $ obtemos:
Fatorando o denominador $ x^{2} - 1 $:
Reconhecemos isso como uma diferença de quadrados:
Reconhecemos isso como uma diferença de quadrados:
Passo 4
Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
Podemos cancelar o fator comum $ (x - 1) $ tanto no numerador quanto no denominador:
Passo 5
Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo $ x = 1 $:
Resposta
O limite é $ \frac{1}{2} $.