Exercício 4 Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 2 na direção do vetor
e derivada direcional igual a 3 na direção
.
(a) Calcule
.
(a) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar o gradiente da função
no ponto
. O gradiente, representado por
, é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas direcionais, que nos dizem como a função muda em determinadas direções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada por:
Aqui,
é o gradiente que queremos encontrar, e
é a direção na qual estamos calculando a derivada.
Passo 3
A questão nos dá duas direções:
-
com derivada direcional igual a 2. -
com derivada direcional igual a 3.
Primeiro, precisamos transformar esses vetores em vetores unitários, pois na fórmula da derivada direcional usamos vetores com comprimento 1. O comprimento de
é
, então o vetor unitário é:
Da mesma forma, o vetor unitário de
é:
Passo 4
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional para cada direção:
Para
:
Ou seja:
Para
:
Ou seja:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Resposta
Portanto, o gradiente de
no ponto
é: