Exercício 4 Uma função diferenciável f(x, y) tem, no ponto (0,0), derivada direcional igual a 2 na direção do vetor i+j e derivada direcional igual a 3 na direção i-j.
(a) Calcule nabla f(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente, representado por , é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas direcionais, que nos dizem como a função muda em determinadas direções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de Du f = nabla f cdot u na direção de um vetor unitário é dada por:
Aqui, é o gradiente que queremos encontrar, e é a direção na qual estamos calculando a derivada.

Passo 3

A questão nos dá duas direções:
  1. u1 = ( 1raiz2, 1raiz2 ) com derivada direcional igual a 2.
  2. u2 = ( 1raiz2, -1raiz2 ) com derivada direcional igual a 3.
Primeiro, precisamos transformar esses vetores em vetores unitários, pois na fórmula da derivada direcional usamos vetores com comprimento 1. O comprimento de é , então o vetor unitário é:
Da mesma forma, o vetor unitário de é:

Passo 4

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional para cada direção:
Para Du1 f = nabla f cdot u1 = 2 :
fx + fyraiz2 = 2 Rightarrow fx + fy = 2raiz2
Ou seja:
Du2 f = nabla f cdot u2 = 3
Para fx - fyraiz2 = 3 Rightarrow fx - fy = 3raiz2 :
Ou seja:

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
fx + fy = 2raiz2 fx - fy = 3raiz2
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
2fx = 5raiz2 Rightarrow fx = 5raiz22
Subtraindo a segunda equação da primeira:
2fy = -raiz2 Rightarrow fy = -raiz22

Resposta

Portanto, o gradiente de nabla f(0,0) = ( 5raiz22, -raiz22 ) no ponto é:

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