Exercício 1 Seja f(x, y)=e^x arctg(y).
(b) Calcule a taxa de variação máxima de f em P.

Passo 1

A questão quer a taxa de variação máxima de f(x,y)=e^x arctg(y) em P. Esse problema cai em derivadas parciais, gradiente e norma do gradiente, pois a direção de máxima variação de uma função de várias variáveis é a direção do seu gradiente e o valor dessa taxa é a norma do gradiente.

Passo 2

Para encontrar ∂f/∂x, note que arctg(y) é constante em relação a x e d(ex)/dx=ex. Logo,
Para encontrar ∂f/∂y, use que d(arctg(y))/dy=1/(1+y^2) e trate e^x como constante em relação a y. Assim,
O vetor gradiente fica:
A taxa de variação máxima em P(x₀,y₀) é a norma desse gradiente:

Resposta

|nabla f(P)|=raizl(e^x0arctan(y0)r)^2+l(e^x01+y0^2r)^2=e^x0raizarctan^2(y0)+1(1+y0^2)^2

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