Exercício 1 Seja
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(b) Calcule a taxa de variação máxima de
em
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(b) Calcule a taxa de variação máxima de
Passo 1
A questão quer a taxa de variação máxima de f(x,y)=e^x arctg(y) em P. Esse problema cai em derivadas parciais, gradiente e norma do gradiente, pois a direção de máxima variação de uma função de várias variáveis é a direção do seu gradiente e o valor dessa taxa é a norma do gradiente.
Passo 2
Para encontrar ∂f/∂x, note que arctg(y) é constante em relação a x e d(ex)/dx=ex. Logo,
Para encontrar ∂f/∂y, use que d(arctg(y))/dy=1/(1+y^2) e trate e^x como constante em relação a y. Assim,
O vetor gradiente fica:
A taxa de variação máxima em P(x₀,y₀) é a norma desse gradiente:
Para encontrar ∂f/∂y, use que d(arctg(y))/dy=1/(1+y^2) e trate e^x como constante em relação a y. Assim,
O vetor gradiente fica:
A taxa de variação máxima em P(x₀,y₀) é a norma desse gradiente: