lim x 0^+(x+e^3 x)^1 / x^2=
(A) 0
(B) 1
(C) e^3
(D) +infty
(E) e^4

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite
L = limxto0^+l(x + e^3xr)^1/x^2
Este é um exercício de limites envolvendo forma do tipo 1^infty, e vamos usar expansão em série de Taylor e propriedades de logaritmo para converter em uma forma que possamos analisar.

Passo 2

Escrevemos a base x + e^3x como
x + e^3x = x + l(1 + 3x + tfrac92x^2 + o(x^2)r) = 1 + 4x + tfrac92x^2 + o(x^2)

Passo 3

Para lidar com o expoente grande, tomamos logaritmo:
ln L = limxto0^+1x^2lnl(x + e^3xr) = limxto0^+1x^2ln!l(1 + 4x + tfrac92x^2 + o(x^2)r)

Passo 4

Expandindo ln(1+u) com u=4x+tfrac92x^2+o(x^2),
ln(1+u)=u-tfracu^22+o(u^2) =4x + tfrac92x^2 - tfrac12l(4xr)^2 + o(x^2) =4x - tfrac72x^2 + o(x^2)

Passo 5

Substituindo na expressão de ln L,
ln L = limxto0^+4x - tfrac72x^2 + o(x^2)x^2 = limxto0^+l(4x - tfrac72 + o(1)r) = +infty
Logo ln Lto+infty, o que implica L=+infty.

Resposta

(D) +infty

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