Resolva as seguintes equações diferenciais
Passo 1
Então, a gente tem que resolver a equação diferencial $ y’’ + 16y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = -5 $ e $ y’(0) = 0 $. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma geral: $ y’’ + 16y = 0 $. Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é um número que vamos encontrar.
Passo 3
Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação diferencial, temos:
Podemos dividir ambos os lados por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), ficando:
Essa é a chamada equação característica.
Passo 4
Resolvendo a equação característica $ r^2 + 16 = 0 $, encontramos:
Os valores de $ r $ são números imaginários puros, o que indica que a solução geral envolverá funções trigonométricas.
Passo 5
Quando temos raízes imaginárias $ r = \pm bi $, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, $ b = 4 $, então a solução geral fica:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, com $ y(0) = -5 $:
Passo 7
Segundo, derivamos a solução geral para encontrar $ y’(t) $:
Aplicando a condição $ y’(0) = 0 $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: