Resolva as seguintes equações diferenciais
y^prime prime+16 y=0, y(0)=-5, y^prime(0)=0

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a equação diferencial $ y’’ + 16y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = -5 $ e $ y’(0) = 0 $. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma geral: $ y’’ + 16y = 0 $. Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é um número que vamos encontrar.

Passo 3

Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação diferencial, temos:
y = e^rt
Podemos dividir ambos os lados por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), ficando:
r^2 e^rt + 16 e^rt = 0
Essa é a chamada equação característica.

Passo 4

Resolvendo a equação característica $ r^2 + 16 = 0 $, encontramos:
r^2 + 16 = 0
Os valores de $ r $ são números imaginários puros, o que indica que a solução geral envolverá funções trigonométricas.

Passo 5

Quando temos raízes imaginárias $ r = \pm bi $, a solução geral da equação diferencial é:
r = pm bi
No nosso caso, $ b = 4 $, então a solução geral fica:
y(t) = C1 cos(bt) + C2 sin(bt)

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, com $ y(0) = -5 $:
C1

Passo 7

Segundo, derivamos a solução geral para encontrar $ y’(t) $:
y'(t)
Aplicando a condição $ y’(0) = 0 $:
y'(t) = -4C1 sin(4t) + 4C2 cos(4t)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = -5 cos(4t)

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