lim x 0 e^2 x-1-2 xx^2=
(A) 2 .
(B) 1 .
(C) 0 .
(D) +infty.
(E) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0e^2x-1-2xx^2.
O conteúdo envolve limites e expansão em série de Taylor da função exponencial em torno de x=0.

Passo 2

Verificamos que, ao substituir x=0, numerador e denominador dão
e^0-1-2cdot0=0 e 0^2=0,
logo é uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos usar a série de Taylor.

Passo 3

A expansão de e^2x até termos de ordem x^2 é
e^2x =1 + 2x + (2x)^22 + O(x^3) =1 + 2x + 2x^2 + O(x^3)
Substituindo no numerador:
e^2x-1-2x =2x^2 + O(x^3)

Passo 4

Dividindo por x^2 obtemos
e^2x-1-2xx^2 =2x^2+O(x^3)x^2 =2 + O(x)
Fazendo xto0, o termo O(x) some e o limite vale 2.

Resposta

(A) 2

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