(3,0 Pontos) Resolva a seguinte EDO
t d yd t+2 y=cos tt

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
tdydt+2y=cos tt,
que é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão dy/dt + P(t),y = Q(t) e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por t (supondo tneq0), obtemos a forma padrão:
dydt + 2t,y = cos tt^2

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t) como
mu(t) = expl(integral 2t,dtr) = expl(2ln|t|r) = t^2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por t^2 temos
t^2dydt + 2t,y = cos t,
e o lado esquerdo é a derivada do produto t^2y, ou seja,
ddtl(t^2yr) = cos t
Integrando ambos os lados em relação a t
t^2y = integral cos t,dt = sin t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y(t) = sin t + Ct^2

Resposta

y(t) = sin t + Ct^2

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