lim x 2 x^2-2 xx^2-x-2=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 2 x^2-2 xx^2-x-2. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar saber como simplificar expressões algébricas e identificar se podemos dividir o numerador e o denominador por um mesmo fator.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de x = 2 diretamente na expressão para ver o que acontece:
  • No numerador: 2^2 - 2 times 2 = 4 - 4 = 0.
  • No denominador: 2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0.
    Então, ao substituir, temos 00, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum termo. Começando pelo numerador:
x^2 - 2x = x(x - 2)
Agora, o denominador:
x^2 - x - 2
Para fatorar isso, buscamos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1. Então:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

Passo 4

Agora que fatoramos, a expressão fica:
x(x - 2)(x - 2)(x + 1)
Perceba que o termo (x - 2) aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que x neq 2, o que é válido porque estamos considerando o limite quando x se aproxima de 2, mas não exatamente igual a 2):
xx + 1

Passo 5

Agora, com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo x = 2 diretamente:
22 + 1 = 23

Resposta

O limite é 23.

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