Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Vamos usar o conteúdo de limites de funções de várias variáveis. Para isso, vamos analisar o comportamento da função conforme
se aproxima de 1 e
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão. Sabemos que:
Então, substituindo isso na função original, temos:
Isso já deixa a expressão um pouco mais simples para trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que quando
está próximo de 0, o seno de
pode ser aproximado por
mesmo, ou seja:
Aplicando isso na nossa função, temos:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente:
- Numerador:
tende a 0 conforme tende a 0. - Denominador:
também tende a 0 conforme tende a 1 e tende a 0.
Para entender melhor, vamos considerar diferentes caminhos para
e
se aproximarem de 1 e 0, respectivamente, e ver se a função tende a um único valor.
Passo 5
Vamos considerar dois caminhos:
- Caminho onde
: - Caminho onde
:
Em ambos os casos, o limite é 0. Isso sugere que o limite geral também é 0.