lim (x, y) (1,0) y^2 cos (y+pi2)3(x-1)^4+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (1,0) y^2 cos (y+pi2)3(x-1)^4+y^2
Vamos usar o conteúdo de limites de funções de várias variáveis. Para isso, vamos analisar o comportamento da função conforme x se aproxima de 1 e y se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão. Sabemos que:
cos(y + pi2) = -sin(y)
Então, substituindo isso na função original, temos:
y^2 cos (y+pi2)3(x-1)^4+y^2 = -y^2 sin(y)3(x-1)^4 + y^2
Isso já deixa a expressão um pouco mais simples para trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que quando y está próximo de 0, o seno de y pode ser aproximado por y mesmo, ou seja:
sin(y) approx y
Aplicando isso na nossa função, temos:
-y^2 sin(y)3(x-1)^4 + y^2 approx -y^2 cdot y3(x-1)^4 + y^2 = -y^33(x-1)^4 + y^2

Passo 4

Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente:
  • Numerador: -y^3 tende a 0 conforme y tende a 0.
  • Denominador: 3(x-1)^4 + y^2 também tende a 0 conforme x tende a 1 e y tende a 0.
Para entender melhor, vamos considerar diferentes caminhos para x e y se aproximarem de 1 e 0, respectivamente, e ver se a função tende a um único valor.

Passo 5

Vamos considerar dois caminhos:
  1. Caminho onde y = 0: -0^33(x-1)^4 + 0^2 = 0
  2. Caminho onde x = 1: -y^33(0)^4 + y^2 = -y^3y^2 = -y 0 quando y 0
Em ambos os casos, o limite é 0. Isso sugere que o limite geral também é 0.

Resposta

0

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