Resolva as equações usando a transformada de Laplace
y^prime prime-4 y^prime+4 y=r^3 e^2 t, y(0)
=0, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O enunciado é:
y'' - 4 y' + 4 y = r^3 e^2 t, y(0) = 0, y'(0) = 0
Conteúdo da matéria: Transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais.
O que vamos precisar: Conhecer as propriedades da transformada de Laplace, como transformar derivadas e resolver equações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de uma função é representada por .

Passo 3

Aplicando a transformada nas derivadas:
  • Para Ly'(t) = s Y(s) - y(0) :
Ly''(t) = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Como , fica .
  • Para :
Como e , fica .

Passo 4

Substituindo as transformadas na equação original:
s^2 Y(s) - 4 s Y(s) + 4 Y(s) = Lr^3 e^2 t
Observação: Parece que há um erro no enunciado original com . Vamos assumir que seja .

Passo 5

Calculando a transformada de Lt^n e^a t = n!(s - a)^n+1 :
Usamos a fórmula:
Lt^3 e^2 t = 6(s - 2)^4
Para e :

Passo 6

Agora, a equação transformada fica:
s^2 Y(s) - 4 s Y(s) + 4 Y(s) = 6(s - 2)^4
Fatorando Y(s)(s^2 - 4 s + 4) = 6(s - 2)^4 :

Passo 7

Simplificando o denominador:
s^2 - 4 s + 4 = (s - 2)^2
Então:
Y(s)(s - 2)^2 = 6(s - 2)^4

Passo 8

Isolando Y(s) = 6(s - 2)^4 cdot (s - 2)^2 = 6(s - 2)^6 :

Passo 9

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar L^-1n!(s - a)^n+1 = t^n e^a t . Sabemos que:
y(t) = 65! t^5 e^2 t = 6120 t^5 e^2 t = 120 t^5 e^2 t
Para e :

Resposta

y(t) = 120 t^5 e^2 t

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