Resolva as equações usando a transformada de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O enunciado é:
Conteúdo da matéria: Transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais.
O que vamos precisar: Conhecer as propriedades da transformada de Laplace, como transformar derivadas e resolver equações algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de uma função
é representada por
.
Passo 3
Aplicando a transformada nas derivadas:
- Para
:
Como
, fica
.
- Para
:
Como
e
, fica
.
Passo 4
Substituindo as transformadas na equação original:
Observação: Parece que há um erro no enunciado original com
. Vamos assumir que seja
.
Passo 5
Calculando a transformada de
:
Usamos a fórmula:
Para
e
:
Passo 6
Agora, a equação transformada fica:
Fatorando
:
Passo 7
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 8
Isolando
:
Passo 9
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
Para
e
: