Usando frações parciais, resolver as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral usando frações parciais. A matéria que vamos utilizar é a decomposição em frações parciais, que ajuda a simplificar integrais racionais. Para isso, precisamos quebrar a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, identificamos os fatores do denominador: e . Como está elevado ao quadrado, a decomposição terá termos para e . Além disso, para o fator quadrático , usaremos um termo da forma . Então, nossa decomposição fica:
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Expandimos e simplificamos a equação:
Passo 5
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 6
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Passo 7
Resolvemos o sistema de equações:
Da primeira equação, -A + B - 2(-A) + D = 1 implies A + B + D = 1 A + (-A) - 2D = 2 implies -2D = 2 implies D = -1 -A + B + (-1) = -1 implies -A + B = 0 implies B = A .
Substituímos A + A -1 = 1 implies 2A = 2 implies A = 1 nas demais equações:
Substituindo e na equação :
Então, e .
Passo 8
Agora que temos os valores de x^2+2x-1(x-1)^2(x^2+1) = 1x-1 + 1(x-1)^2 + -x -1x^2+1 , , e , substituímos de volta na decomposição de frações: