Usando frações parciais, resolver as seguintes integrais:
integral (x^2+2 x-1) d x(x-1)^2(x^2+1)

Passo 1

Vamos resolver a integral usando frações parciais. A matéria que vamos utilizar é a decomposição em frações parciais, que ajuda a simplificar integrais racionais. Para isso, precisamos quebrar a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, identificamos os fatores do denominador: x^2+2x-1(x-1)^2(x^2+1) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx + Dx^2+1 e . Como está elevado ao quadrado, a decomposição terá termos para e . Além disso, para o fator quadrático , usaremos um termo da forma . Então, nossa decomposição fica:

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x^2+2x-1 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx + D)(x-1)^2 para eliminar as frações:

Passo 4

Expandimos e simplificamos a equação:
x^2+2x-1 = A(x^3 + x - x^2 -1) + B(x^2+1) + (Cx + D)(x^2 - 2x +1)
x^2+2x-1 = A x^3 + A x - A x^2 - A + B x^2 + B + C x^3 - 2C x^2 + C x + D x^2 - 2D x + D

Passo 5

Agrupamos os termos semelhantes:
x^2+2x-1 = (A + C) x^3 + (-A + B - 2C + D) x^2 + (A + C - 2D) x + (-A + B + D)

Passo 6

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
A + C = 0 -A + B - 2C + D = 1 A + C - 2D = 2 -A + B + D = -1

Passo 7

Resolvemos o sistema de equações:
  1. Da primeira equação, -A + B - 2(-A) + D = 1 implies A + B + D = 1 A + (-A) - 2D = 2 implies -2D = 2 implies D = -1 -A + B + (-1) = -1 implies -A + B = 0 implies B = A .
  2. Substituímos A + A -1 = 1 implies 2A = 2 implies A = 1 nas demais equações:
  1. Substituindo e na equação :
  1. Então, e .

Passo 8

Agora que temos os valores de x^2+2x-1(x-1)^2(x^2+1) = 1x-1 + 1(x-1)^2 + -x -1x^2+1 , , e , substituímos de volta na decomposição de frações:

Passo 9

Simplificamos a expressão:
x^2+2x-1(x-1)^2(x^2+1) = 1x-1 + 1(x-1)^2 - xx^2+1 - 1x^2+1

Passo 10

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1x-1 dx = ln|x-1| + C
integral 1(x-1)^2 dx = -1 x-1 + C
integral -xx^2+1 dx = -12 ln|x^2+1| + C
integral -1x^2+1 dx = -arctan(x) + C

Resposta

A integral resolvida é:
ln|x-1| - 1x-1 - 12 ln|x^2+1| - arctan(x) + C

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