(a) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x \cdot y}{x^{2}+y^{2}}
b) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x \cdot y \cdot(x-y)}{x^{4}+y^{4}}

Passo 1

Temos duas tarefas separadas, cada uma pede o limite quando (x,y) tende a (0,0):
(a) Calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\cdot y}{x^{2}+y^{2}}.
(b) Calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\cdot y\cdot(x-y)}{x^{4}+y^{4}}.
Informações dadas: as duas funções racionais em duas variáveis estão definidas em pontos próximos de (0,0) (exceto possivelmente em (0,0) por causa dos denominadores). O que se pede é verificar se existe um limite (e calcular, se existir) quando nos aproximamos de (0,0) por qualquer caminho.

Passo 2

Breve aula sobre limite em várias variáveis e estratégia prática para a prova.
Definição intuitiva: dizemos que \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L se, ao aproximar (x,y) de (0,0) por qualquer caminho, os valores de f(x,y) se aproximam de um mesmo número L. Na prática de prova, duas ferramentas simples e poderosas são:
  • Teste de caminhos: se encontramos dois caminhos distintos que dão limites diferentes, então o limite não existe. É um contraexemplo imediato.
  • Coordenadas polares: escrever x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Se a expressão se reduz a uma função que depende de \theta (e não tende a um valor único quando r\to0), o limite não existe. Se a expressão fica como r vezes algo limitado, muitas vezes tende a 0.
Vou usar essas ideias passo a passo, explicando cada substituição.

Passo 3

Resolvendo (a). Tentativa pelo método das retas (campos y= m x) — é o método mais básico e rápido.
Suponha que aproximamos (0,0) ao longo da reta y=m x, onde m é uma constante real. Substituindo em \frac{x\cdot y}{x^{2}+y^{2}} obtemos:
\frac{x\cdot (m x)}{x^{2} + (m x)^{2}}.
Agora fatoramos x^{2} no numerador e denominador para simplificar:
\frac{m x^{2}}{x^{2}(1+m^{2})} = \frac{m}{1+m^{2}}.
Esse valor não depende de x (ou seja, é o mesmo para qualquer ponto da reta, exceto a origem) e depende de m. Assim, ao seguir a reta y=m x até a origem, a função tende ao número \displaystyle \frac{m}{1+m^{2}}.

Passo 4

Interpretando o resultado do Passo 3: como o limite ao longo da reta y=m x depende de m, diferentes retas dão diferentes valores. Por exemplo:
  • Para m=0 (ou seja, o eixo y=0) o limite é \displaystyle \frac{0}{1+0}=0.
  • Para m=1 (reta y=x) o limite é \displaystyle \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Como a abordagem pela reta y=0 0 e pela reta y=x \tfrac{1}{2}, os limites são diferentes. Pelo teste de caminhos, a conclusão é que o limite da função em (a) quando (x,y)\to(0,0) não existe.
Observação adicional (intuição com polares): se usarmos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, temos
\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r^{2}\cos\theta\sin\theta}{r^{2}}=\cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta),
que depende de \theta. Como o valor depende do ângulo de aproximação, não existe um único limite.

Passo 5

Resolvendo (b). Novamente começamos testando retas y=m x (método simples e geralmente bastante eficaz).
Substituindo y=m x em \displaystyle \frac{x\cdot y\cdot(x-y)}{x^{4}+y^{4}} obtemos:
\frac{x\cdot (m x)\cdot(x - m x)}{x^{4} + (m x)^{4}}.
Simplificando os fatores x:
\frac{m x^{2}\cdot x(1-m)}{x^{4}(1 + m^{4})} = \frac{m(1-m)\, x^{3}}{x^{4}(1 + m^{4})}.
Cancelando x^{3} (para x\neq0) fica
\frac{m(1-m)}{(1+m^{4})\, x}.

Passo 6

Interpretação do resultado do Passo 5: o valor ao longo da reta y=m x é \displaystyle \frac{m(1-m)}{(1+m^{4})\, x}. À medida que x\to0 seguindo essa reta, esse quociente tende a infinito (ou menos infinito) quando o numerador m(1-m) é diferente de zero, porque temos uma constante dividida por x pequeno.
Casos especiais:
  • Se m=0 (reta y=0), então m(1-m)=0 e o valor é 0.
  • Se m=1 (reta y=x), então m(1-m)=0 e o valor é 0.
  • Para qualquer outro m (por exemplo m=2), o numerador é diferente de zero e a expressão é algo como \frac{\text{constante}\neq0}{x}, que diverge quando x\to0. O sinal pode ser positivo ou negativo dependendo do sinal de x e do sinal da constante m(1-m).
Portanto, ao aproximar pela reta y=0 ou y=x obtemos 0, enquanto aproximando por, por exemplo, a reta y=2x (com x\to0^{+}) obtemos \displaystyle \frac{2(1-2)}{1+2^{4}}\cdot\frac{1}{x}\to -\infty. Assim já temos comportamentos distintos (número finito versus divergência para \pm\infty).

Passo 7

Conclusão para (b): há caminhos que levam a 0 (como y=0 ou y=x) e caminhos que levam à divergência (como y=m x com m\neq0,1). Logo o limite não existe como número finito; na verdade não existe limite (nem mesmo um limite infinito bem definido), pois o valor depende do caminho e pode divergir com sinais diferentes. Pelo teste de caminhos, a conclusão é que o limite em (b) não existe.

Resposta

(a) não existe
(b) não existe

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