(a)
b)
b)
Passo 1
Temos duas tarefas separadas, cada uma pede o limite quando
tende a
:
(a) Calcular
.
(b) Calcular
.
Informações dadas: as duas funções racionais em duas variáveis estão definidas em pontos próximos de
(exceto possivelmente em
por causa dos denominadores). O que se pede é verificar se existe um limite (e calcular, se existir) quando nos aproximamos de
por qualquer caminho.
Passo 2
Breve aula sobre limite em várias variáveis e estratégia prática para a prova.
Definição intuitiva: dizemos que
se, ao aproximar
de
por qualquer caminho, os valores de
se aproximam de um mesmo número
. Na prática de prova, duas ferramentas simples e poderosas são:
- Teste de caminhos: se encontramos dois caminhos distintos que dão limites diferentes, então o limite não existe. É um contraexemplo imediato.
- Coordenadas polares: escrever
, . Se a expressão se reduz a uma função que depende de (e não tende a um valor único quando ), o limite não existe. Se a expressão fica como vezes algo limitado, muitas vezes tende a .
Vou usar essas ideias passo a passo, explicando cada substituição.
Passo 3
Resolvendo (a). Tentativa pelo método das retas (campos
) — é o método mais básico e rápido.
Suponha que aproximamos
ao longo da reta
, onde
é uma constante real. Substituindo em
obtemos:
Agora fatoramos
no numerador e denominador para simplificar:
Esse valor não depende de
(ou seja, é o mesmo para qualquer ponto da reta, exceto a origem) e depende de
. Assim, ao seguir a reta
até a origem, a função tende ao número
.
Passo 4
Interpretando o resultado do Passo 3: como o limite ao longo da reta
depende de
, diferentes retas dão diferentes valores. Por exemplo:
- Para
(ou seja, o eixo ) o limite é . - Para
(reta ) o limite é .
Como a abordagem pela reta
dá
e pela reta
dá
, os limites são diferentes. Pelo teste de caminhos, a conclusão é que o limite da função em (a) quando
não existe.
Observação adicional (intuição com polares): se usarmos
,
, temos
que depende de
. Como o valor depende do ângulo de aproximação, não existe um único limite.
Passo 5
Resolvendo (b). Novamente começamos testando retas
(método simples e geralmente bastante eficaz).
Substituindo
em
obtemos:
Simplificando os fatores
:
Cancelando
(para
) fica
Passo 6
Interpretação do resultado do Passo 5: o valor ao longo da reta
é
. À medida que
seguindo essa reta, esse quociente tende a infinito (ou menos infinito) quando o numerador
é diferente de zero, porque temos uma constante dividida por
pequeno.
Casos especiais:
- Se
(reta ), então e o valor é . - Se
(reta ), então e o valor é . - Para qualquer outro
(por exemplo ), o numerador é diferente de zero e a expressão é algo como , que diverge quando . O sinal pode ser positivo ou negativo dependendo do sinal de e do sinal da constante .
Portanto, ao aproximar pela reta
ou
obtemos
, enquanto aproximando por, por exemplo, a reta
(com
) obtemos
. Assim já temos comportamentos distintos (número finito versus divergência para
).
Passo 7
Conclusão para (b): há caminhos que levam a
(como
ou
) e caminhos que levam à divergência (como
com
). Logo o limite não existe como número finito; na verdade não existe limite (nem mesmo um limite infinito bem definido), pois o valor depende do caminho e pode divergir com sinais diferentes. Pelo teste de caminhos, a conclusão é que o limite em (b) não existe.
Resposta
(a) não existe
(b) não existe