Ache a derivada de cada uma das seguintes funções dadas por:
f(x)=x+\frac{1}{x}, g(x)=x^{5}-3 e^{x}+\ln x, h(x)=\frac{x^{3}-4 x^{7}+x}{2 x^{5}-1}, k(x)=\operatorname{tg} x .

Passo 1

Temos que encontrar as derivadas das quatro funções abaixo:
f(x)=x+\frac{1}{x},\quad g(x)=x^{5}-3 e^{x}+\ln x,\quad h(x)=\frac{x^{3}-4 x^{7}+x}{2 x^{5}-1},\quad k(x)=\operatorname{tg} x.
O que o enunciado pede é: para cada função acima, achar a função derivada f'(x), g'(x), h'(x), k'(x).

Passo 2

Antes de derivar, vamos reunir as regras que vamos usar — explicando bem cada uma, como combiná-las e por quê.
Regra da soma e da diferença:
\text{Se }F(x)=u(x)\pm v(x)\text{ então }F'(x)=u'(x)\pm v'(x).ã
Isto significa que podemos derivar termo a termo.
Regra do fator constante:
\text{Se }F(x)=c\cdot u(x)\text{ então }F'(x)=c\cdot u'(x),ã
onde c é uma constante.
Regra da potência (power rule):
\text{Se }u(x)=x^{n}\text{ com }n\in\mathbb{R}\text{ então }u'(x)=n x^{n-1}.ã
Aqui n é o expoente; vale também para n negativo. Exemplo útil: para u(x)=x^{-1}=\dfrac{1}{x} temos
u'(x) = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.
Derivada da exponencial:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Ou seja, a função e^{x} é igual à sua própria derivada.
Derivada do logaritmo natural:
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},\quad\text{(válido para }x>0\text{).}á
Regra do quociente (quotient rule):
Se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\big(v(x)\big)^{2}}.
Aqui u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v respectivamente.
Derivada da tangente (vamos demonstrar na prática): se k(x)=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, aplicando a regra do quociente chega-se a
\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
A demonstração aparece no Passo 6.
Agora que temos as regras, aplicamo-las função a função.

Passo 3

Derivada de f(x)=x+\dfrac{1}{x}.
  1. Reescrevo o segundo termo como potência: \dfrac{1}{x}=x^{-1}.
  2. Uso a regra da soma e da potência:
  • Derivada de x (que é x^{1}) pela regra da potência é 1\cdot x^{0}=1.
  • Derivada de x^{-1} é -1\cdot x^{-2}=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}.
  1. Juntando termo a termo, pela regra da soma:
f'(x)=1-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Derivada de g(x)=x^{5}-3 e^{x}+\ln x.
  1. Aplicando a derivada termo a termo:
  • Para x^{5}: pela regra da potência, \dfrac{d}{dx}x^{5}=5x^{4}.
  • Para -3 e^{x}: a constante -3 sai na frente (regra do fator constante) e \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, então \dfrac{d}{dx}(-3 e^{x})=-3 e^{x}.
  • Para \ln x: \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} (para x>0).
  1. Somando:
g'(x)=5x^{4}-3 e^{x}+\frac{1}{x}.

Passo 5

Derivada de h(x)=\dfrac{x^{3}-4 x^{7}+x}{2 x^{5}-1}.
  1. Identifico u(x)=x^{3}-4 x^{7}+x e v(x)=2 x^{5}-1. Vamos calcular u'(x) e v'(x) termo a termo.
  • Para u(x):
    • \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
    • \dfrac{d}{dx}(-4x^{7})=-4\cdot 7 x^{6}=-28 x^{6}.
    • \dfrac{d}{dx}x=1.
      Assim
    u'(x)=3x^{2}-28 x^{6}+1.
  • Para v(x):
    • \dfrac{d}{dx}(2x^{5})=2\cdot 5 x^{4}=10 x^{4}.
    • \dfrac{d}{dx}(-1)=0.
      Assim
    v'(x)=10 x^{4}.
  1. Agora aplico a regra do quociente:
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\big(v(x)\big)^{2}}.
Substituindo u,u',v,v':
h'(x)=\frac{\big(3x^{2}-28 x^{6}+1\big)\big(2 x^{5}-1\big)-\big(x^{3}-4 x^{7}+x\big)\big(10 x^{4}\big)}{\big(2 x^{5}-1\big)^{2}}.
  1. Para simplificar, vamos expandir os dois produtos do numerador e combinar termos (faça isso com calma na prova):
  • Primeiro produto:
\big(3x^{2}-28 x^{6}+1\big)\big(2 x^{5}-1\big) = -56 x^{11}+6 x^{7}+28 x^{6}+2 x^{5}-3 x^{2}-1.
  • Segundo produto:
\big(x^{3}-4 x^{7}+x\big)\big(10 x^{4}\big) =10 x^{7}-40 x^{11}+10 x^{5}.
  • Subtraindo (primeiro menos o segundo) obtemos o numerador simplificado:
-16 x^{11}-4 x^{7}+28 x^{6}-8 x^{5}-3 x^{2}-1.
  1. Colocando tudo:
h'(x)=\frac{-16 x^{11}-4 x^{7}+28 x^{6}-8 x^{5}-3 x^{2}-1}{\big(2 x^{5}-1\big)^{2}}.
Esse é o numerador combinado; na prova geralmente é suficiente deixar o resultado nessa forma factorizada do denominador. Se quiser, dá para fatorar termos em comum no numerador, mas não é obrigatório.

Passo 6

Derivada de k(x)=\operatorname{tg} x (tangente).
  1. Uma forma didática de obter a derivada é usar a identidade \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e aplicar a regra do quociente. Tomando u(x)=\sin x e v(x)=\cos x:
  • u'(x)=\cos x.
  • v'(x)=-\sin x.
  1. Pela regra do quociente:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) =\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}.
  1. Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, obtemos
k'(x)=\frac{1}{\cos^{2}x}.
Também se costuma escrever k'(x)=\operatorname{sec}^{2}x. Lembre-se do domínio: essa derivada é válida onde \cos x\neq0.

Resposta

f'(x)=1-\dfrac{1}{x^{2}}
g'(x)=5x^{4}-3 e^{x}+\dfrac{1}{x}
h'(x)=\dfrac{-16 x^{11}-4 x^{7}+28 x^{6}-8 x^{5}-3 x^{2}-1}{\big(2 x^{5}-1\big)^{2}}
k'(x)=\dfrac{1}{\cos^{2}x}

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