Ache a derivada de cada uma das seguintes funções dadas por:
Passo 1
Temos que encontrar as derivadas das quatro funções abaixo:
O que o enunciado pede é: para cada função acima, achar a função derivada
.
Passo 2
Antes de derivar, vamos reunir as regras que vamos usar — explicando bem cada uma, como combiná-las e por quê.
Regra da soma e da diferença:
Isto significa que podemos derivar termo a termo.
Regra do fator constante:
onde
é uma constante.
Regra da potência (power rule):
Aqui
é o expoente; vale também para
negativo. Exemplo útil: para
temos
Derivada da exponencial:
Ou seja, a função
é igual à sua própria derivada.
Derivada do logaritmo natural:
Regra do quociente (quotient rule):
Se com
, então
Se
Aqui
e
são as derivadas de
e
respectivamente.
Derivada da tangente (vamos demonstrar na prática): se
, aplicando a regra do quociente chega-se a
A demonstração aparece no Passo 6.
Agora que temos as regras, aplicamo-las função a função.
Passo 3
Derivada de
.
-
Reescrevo o segundo termo como potência:
. -
Uso a regra da soma e da potência:
- Derivada de
(que é ) pela regra da potência é . - Derivada de
é .
- Juntando termo a termo, pela regra da soma:
Passo 4
Derivada de
.
- Aplicando a derivada termo a termo:
- Para
: pela regra da potência, . - Para
: a constante sai na frente (regra do fator constante) e , então . - Para
: (para ).
- Somando:
Passo 5
Derivada de
.
- Identifico
e . Vamos calcular e termo a termo.
-
Para
: -
. -
. -
.
Assim
-
-
Para
: -
. -
.
Assim
-
- Agora aplico a regra do quociente:
Substituindo
:
- Para simplificar, vamos expandir os dois produtos do numerador e combinar termos (faça isso com calma na prova):
- Primeiro produto:
- Segundo produto:
- Subtraindo (primeiro menos o segundo) obtemos o numerador simplificado:
- Colocando tudo:
Esse é o numerador combinado; na prova geralmente é suficiente deixar o resultado nessa forma factorizada do denominador. Se quiser, dá para fatorar termos em comum no numerador, mas não é obrigatório.
Passo 6
Derivada de
(tangente).
- Uma forma didática de obter a derivada é usar a identidade
e aplicar a regra do quociente. Tomando e :
-
. -
.
- Pela regra do quociente:
- Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Também se costuma escrever
. Lembre-se do domínio: essa derivada é válida onde
.