A função é a razão entre x^{2}\ln(1+|x y|) (numerador) e \sqrt{x^{4}+y^{6}} (denominador).
O ponto de aproximação é (x,y)\to(0,0).
Devemos determinar o limite numérico (se existe) quando ambos x e y tendem a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos controlar o fator \ln\bigl(1+|x y|\bigr). Uma desigualdade elementary e muito útil é:
\text{para } t\ge 0:\qquad \ln(1+t)\le t.
Explicação rápida: a função g(t)=\ln(1+t)-t tem derivada g'(t)=\tfrac{1}{1+t}-1\le 0 para t\ge0, logo g é decrescente e g(0)=0, portanto g(t)\le0, isto é \ln(1+t)\le t. Aplicando com t=|x y|\ge0 obtemos
\ln\bigl(1+|x y|\bigr)\le |x y|.
Passo 3
Usando a desigualdade do Passo 2 no numerador, temos (tomando valor absoluto de toda a expressão):
Aqui usei que x^{2}\ge0 e \ln(1+|xy|)\ge0, portanto o módulo do numerador é x^{2}\ln(1+|xy|), e então a desigualdade \ln(1+|xy|)\le|xy| dá o passo acima.
Passo 4
Agora simplificamos a razão usando que para todo par (x,y) vale
\sqrt{x^{4}+y^{6}}\ge \sqrt{x^{4}}=|x^{2}|.
Portanto, desde que x não seja exatamente zero (se x=0 a expressão original vale 0 e não há problema), obtemos
e o lado direito tende a 0 quando (x,y)\to(0,0), concluímos que a expressão absoluta do nosso quociente também tende a 0. Logo o próprio quociente tende a 0.
Se você quiser uma versão epsilon–delta rápida: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\sqrt{2\varepsilon}. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então |x y|\le \tfrac{x^{2}+y^{2}}{2}<\tfrac{\delta^{2}}{2}=\varepsilon. Como a expressão em módulo é ≤ |xy|, temos módulo menor que \varepsilon, o que provê a definição formal do limite.