\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} \ln (1+|x y|)}{\sqrt{x^{4}+y^{6}}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}\ln\bigl(1+|x y|\bigr)}{\sqrt{x^{4}+y^{6}}}.
Informações dadas:
  • A função é a razão entre x^{2}\ln(1+|x y|) (numerador) e \sqrt{x^{4}+y^{6}} (denominador).
  • O ponto de aproximação é (x,y)\to(0,0).
  • Devemos determinar o limite numérico (se existe) quando ambos x e y tendem a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos controlar o fator \ln\bigl(1+|x y|\bigr). Uma desigualdade elementary e muito útil é:
\text{para } t\ge 0:\qquad \ln(1+t)\le t.
Explicação rápida: a função g(t)=\ln(1+t)-t tem derivada g'(t)=\tfrac{1}{1+t}-1\le 0 para t\ge0, logo g é decrescente e g(0)=0, portanto g(t)\le0, isto é \ln(1+t)\le t. Aplicando com t=|x y|\ge0 obtemos
\ln\bigl(1+|x y|\bigr)\le |x y|.

Passo 3

Usando a desigualdade do Passo 2 no numerador, temos (tomando valor absoluto de toda a expressão):
\left|\frac{x^{2}\ln\bigl(1+|x y|\bigr)}{\sqrt{x^{4}+y^{6}}}\right| \le \frac{x^{2}\cdot |x y|}{\sqrt{x^{4}+y^{6}}} = \frac{|x^{3}y|}{\sqrt{x^{4}+y^{6}}}.
Aqui usei que x^{2}\ge0 e \ln(1+|xy|)\ge0, portanto o módulo do numerador é x^{2}\ln(1+|xy|), e então a desigualdade \ln(1+|xy|)\le|xy| dá o passo acima.

Passo 4

Agora simplificamos a razão usando que para todo par (x,y) vale
\sqrt{x^{4}+y^{6}}\ge \sqrt{x^{4}}=|x^{2}|.
Portanto, desde que x não seja exatamente zero (se x=0 a expressão original vale 0 e não há problema), obtemos
\frac{|x^{3}y|}{\sqrt{x^{4}+y^{6}}} \le \frac{|x^{3}y|}{|x^{2}|} = |x y|.
Combinando com o Passo 3 segue a desigualdade útil
\left|\frac{x^{2}\ln\bigl(1+|x y|\bigr)}{\sqrt{x^{4}+y^{6}}}\right|\le |x y|
para todo (x,y) (e quando x=0 ambos os lados são 0, então a desigualdade continua válida).

Passo 5

Mostramos que o lado direito tende a zero quando (x,y)\to(0,0). Uma maneira simples e padrão de ver isto é usar a desigualdade
2|x y|\le x^{2}+y^{2},
que resulta de (|x|-|y|)^{2}\ge0. Assim
|x y|\le \frac{x^{2}+y^{2}}{2}.
Se (x,y)\to(0,0) então x^{2}+y^{2}\to0, logo |x y|\to0. Portanto o majorante |x y| tende a zero.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Aperto (squeeze theorem): como
0\le \left|\frac{x^{2}\ln\bigl(1+|x y|\bigr)}{\sqrt{x^{4}+y^{6}}}\right|\le |x y|
e o lado direito tende a 0 quando (x,y)\to(0,0), concluímos que a expressão absoluta do nosso quociente também tende a 0. Logo o próprio quociente tende a 0.
Se você quiser uma versão epsilon–delta rápida: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\sqrt{2\varepsilon}. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então |x y|\le \tfrac{x^{2}+y^{2}}{2}<\tfrac{\delta^{2}}{2}=\varepsilon. Como a expressão em módulo é ≤ |xy|, temos módulo menor que \varepsilon, o que provê a definição formal do limite.

Resposta

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