( 2,0 pontos) Calcule os limites laterais de
em
, sendo:
Passo 1
O enunciado pede os limites laterais de
As perguntas explícitas: calcular
(limite pela direita).]
Passo 2
Vou lembrar o que significa limite lateral de forma simples e prática:
-
é o valor que tende quando se aproxima de por valores menores que (pela esquerda). -
é o valor que tende quando se aproxima de por valores maiores que (pela direita).
Na prática, avaliamos o ramo adequado da função em cada lado dee observamos o comportamento ao aproximar de .
Passo 3
Entender as funções envolvidas:
- A notação
significa . Ou seja, . - A função
significa .
Então, parausamos e para usamos .
Passo 4
Cálculo do limite pela esquerda
, ou seja, do ramo
quando
aproxima
por valores menores:
- Sabemos que
e . - Usando a expansão de primeira ordem (ou a noção de derivada), para
perto de vale
Isto quer dizer que, quando
,
comporta-se como
.
3. Agora observe o sinal: se então
, logo
. Portanto, ao aproximar
pela esquerda,
tende a
por valores positivos (é um número positivo muito pequeno).
4. Como , temos
.
Conclusão deste passo: .
3. Agora observe o sinal: se
4. Como
Conclusão deste passo:
Passo 5
Cálculo do limite pela direita
, ou seja, do ramo
quando
aproxima
por valores maiores:
- A função
é contínua e . - Quando a função no denominador tende a um número diferente de zero, o recíproco tende ao recíproco desse número. Assim,
Conclusão:
.
Passo 6
Interpretação final e consequência: o limite pela esquerda diverge para
e o limite pela direita é o número
. Como os dois limites laterais não coincidem (um é infinito positivo e o outro é
), o limite total
não existe. Também isso implica que
não é contínua em
.