( 2,0 pontos) Calcule os limites laterais de \mathrm{f}(\mathrm{x}) em \mathrm{x}=\pi, sendo:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \operatorname{cossec}(x), \text { se } x<\pi \\\ \operatorname{sec} (x), \text { se } x \geq \pi \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede os limites laterais de f(x)\) em \(x=\pi\). As informações dadas são: \[f(x)=\begin{cases} \operatorname{cossec}(x), & \text{se } x<\pi,\\[4pt] \operatorname{sec}(x), & \text{se } x\ge \pi. \end{cases}
As perguntas explícitas: calcular \lim_{x\to\pi^-} f(x)\] (limite pela esquerda) e \(\lim_{x\to\pi^+} f(x) (limite pela direita).]

Passo 2

Vou lembrar o que significa limite lateral de forma simples e prática:
  • \lim_{x\to\pi^-} f(x) é o valor que f(x) tende quando x se aproxima de \pi por valores menores que \pi (pela esquerda).
  • \lim_{x\to\pi^+} f(x) é o valor que f(x) tende quando x se aproxima de \pi por valores maiores que \pi (pela direita).
    Na prática, avaliamos o ramo adequado da função em cada lado de \pi e observamos o comportamento ao aproximar x de \pi.

Passo 3

Entender as funções envolvidas:
  • A notação \operatorname{cossec}(x) significa \dfrac{1}{\sin(x)}. Ou seja, \operatorname{cossec}(x)=\csc(x)=1/\sin(x).
  • A função \operatorname{sec}(x) significa \dfrac{1}{\cos(x)}.
    Então, para x<\pi usamos f(x)=1/\sin(x) e para x\ge\pi usamos f(x)=1/\cos(x).

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to\pi^-} f(x), ou seja, do ramo 1/\sin(x) quando x aproxima \pi por valores menores:
  1. Sabemos que \sin(\pi)=0 e \cos(\pi)=-1.
  2. Usando a expansão de primeira ordem (ou a noção de derivada), para x perto de \pi vale
\sin(x)=\sin(\pi)+\cos(\pi)(x-\pi)+o(x-\pi)=-(x-\pi)+o(x-\pi).
Isto quer dizer que, quando x\to\pi, \sin(x) comporta-se como -(x-\pi).
3. Agora observe o sinal: se x<\pi então x-\pi<0, logo -(x-\pi)>0. Portanto, ao aproximar \pi pela esquerda, \sin(x) tende a 0 por valores positivos (é um número positivo muito pequeno).
4. Como \sin(x)\to 0^+, temos \dfrac{1}{\sin(x)}\to +\infty.
Conclusão deste passo: \displaystyle \lim_{x\to\pi^-}\frac{1}{\sin(x)}=+\infty.

Passo 5

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to\pi^+} f(x), ou seja, do ramo 1/\cos(x) quando x aproxima \pi por valores maiores:
  1. A função \cos(x) é contínua e \cos(\pi)=-1\neq 0.
  2. Quando a função no denominador tende a um número diferente de zero, o recíproco tende ao recíproco desse número. Assim,
\lim_{x\to\pi^+}\frac{1}{\cos(x)}=\frac{1}{\lim_{x\to\pi^+}\cos(x)}=\frac{1}{\cos(\pi)}=\frac{1}{-1}=-1.
Conclusão: \displaystyle \lim_{x\to\pi^+}\operatorname{sec}(x)=-1.

Passo 6

Interpretação final e consequência: o limite pela esquerda diverge para +\infty e o limite pela direita é o número -1. Como os dois limites laterais não coincidem (um é infinito positivo e o outro é -1), o limite total \lim_{x\to\pi} f(x) não existe. Também isso implica que f não é contínua em \pi.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\pi^-} f(x)=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to\pi^+} f(x)=-1

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