O que o problema pede é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais indicadas.]
Passo 2
Método escolhido: procurar soluções da forma y(x)=e^{rx}. Por que isso funciona? Vou explicar devagar: se y(x)=e^{rx}, então y'(x)=r e^{rx} e y''(x)=r^{2} e^{rx}. Substituindo essas expressões na equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes, o fator e^{rx} sai em evidência (ele nunca é zero) e sobra uma equação algébrica em r. Essa equação algébrica é chamada de equação característica e suas raízes dão as exposições r que geram soluções do tipo exponencial.
Passo 3
Formamos a equação característica substituindo y=y_{c}(x)=e^{rx} em 2y''-5y'-3y=0. Isso dá:
2r^{2}-5r-3=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Calculamos o discriminante:
Como as duas raízes são reais e distintas (r_{1}=3 e r_{2}=-\tfrac{1}{2}), a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x/2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Calculamos a derivada dessa solução geral para poder aplicar a condição y'(0)=2. Derivando termo a termo:
y'(x)=3C_{1}e^{3x}-\tfrac{1}{2}C_{2}e^{-x/2}.
Lembre que a derivada de e^{ax} é a e^{ax}; é por isso que aparecem os fatores 3 e -\tfrac{1}{2}.
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais para achar C_{1} e C_{2}.