Problema 16 Dado o problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l} 2 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}-3 y=0 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=2 \end{array}\right.
Resolva tal PVI.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com uma equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais. As informações fornecidas são:
\begin{cases} 2y''-5y'-3y=0,\\[4pt] y(0)=0,\\[4pt] y'(0)=2. \end{cases}
O que o problema pede é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais indicadas.]

Passo 2

Método escolhido: procurar soluções da forma y(x)=e^{rx}. Por que isso funciona? Vou explicar devagar: se y(x)=e^{rx}, então y'(x)=r e^{rx} e y''(x)=r^{2} e^{rx}. Substituindo essas expressões na equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes, o fator e^{rx} sai em evidência (ele nunca é zero) e sobra uma equação algébrica em r. Essa equação algébrica é chamada de equação característica e suas raízes dão as exposições r que geram soluções do tipo exponencial.

Passo 3

Formamos a equação característica substituindo y=y_{c}(x)=e^{rx} em 2y''-5y'-3y=0. Isso dá:
2r^{2}-5r-3=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Calculamos o discriminante:
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49.
Como \Delta=49, as raízes são
r=\frac{5\pm\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{5\pm 7}{4}.
Portanto
r_{1}=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3,\qquad r_{2}=\frac{5-7}{4}=\frac{-2}{4}=-\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Como as duas raízes são reais e distintas ( r_{1}=3 e r_{2}=-\tfrac{1}{2}), a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x/2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Calculamos a derivada dessa solução geral para poder aplicar a condição y'(0)=2. Derivando termo a termo:
y'(x)=3C_{1}e^{3x}-\tfrac{1}{2}C_{2}e^{-x/2}.
Lembre que a derivada de e^{ax} é a e^{ax}; é por isso que aparecem os fatores 3 e -\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais para achar C_{1} e C_{2}.
Primeiro, y(0)=0
y(0)=C_{1}+C_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-C_{1}.
Segundo, y'(0)=2
y'(0)=3C_{1}-\tfrac{1}{2}C_{2}=2.
Substituindo C_{2}=-C_{1} nessa última equação obtemos
3C_{1}-\tfrac{1}{2}(-C_{1})=3C_{1}+\tfrac{1}{2}C_{1}=\tfrac{7}{2}C_{1}=2.
Logo
C_{1}=\frac{2}{\tfrac{7}{2}}=2\cdot\frac{2}{7}=\frac{4}{7}.
E então
C_{2}=-C_{1}=-\frac{4}{7}.

Passo 7

Substituímos C_{1} e C_{2} na solução geral para obter a solução particular do PVI:
y(x)=\frac{4}{7}e^{3x}-\frac{4}{7}e^{-x/2}=\frac{4}{7}\bigl(e^{3x}-e^{-x/2}\bigr).

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{4}{7}\bigl(e^{3x}-e^{-x/2}\bigr)

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