Passo 1
O enunciado pede avaliar o seguinte limite quando
se aproxima de
:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função considerada é
, definida para todo . - Quer-se saber se existe um número real
tal que se aproxima de quando , e — em caso afirmativo — qual é esse .
Passo 2
Breve lembrete do que significa limite em duas variáveis (explicação didática):
- Dizer que
significa, intuitivamente, que quando
fica arbitrariamente próximo de
, os valores
ficam arbitrariamente próximos de
, independentemente da direção (do caminho) pelo qual
se aproxima da origem.
- Métodos comuns para avaliar limites em
: testar caminhos (ver se o limite depende do caminho), usar desigualdades e o Teorema do Aperto (Squeeze), ou usar coordenadas polares. Vou usar o Teorema do Aperto como método principal porque aqui ele dá uma solução direta e simples.
Passo 3
Preparar uma desigualdade útil (passo chave para aplicar o Teorema do Aperto):
- Trabalhamos com o valor absoluto da função para controlar sinais:
- Observe que
para todo . Logo
- Multiplicando essa desigualdade por
(que é não negativa) obtemos
- Portanto temos a desigualdade importante
Passo 4
Aplicação do Teorema do Aperto (Squeeze Theorem) e conclusão lógica:
- O Teorema do Aperto diz que se uma função
satisfaz numa vizinhança da origem (exceto possivelmente no próprio ponto) e , então . - No nosso caso, encontramos
com
- Como
(porque quando ), pelo Teorema do Aperto a expressão também tende ao mesmo valor comprimido por .
Passo 5
Comentário adicional por reforço — método em coordenadas polares (opcional, para entender de outro jeito):
- Faça
e com . Então e
- Como
para todo , tem-se
- Quando
(o que equivale a ), . Portanto a expressão em coordenadas polares também mostra que a função tende a zero independentemente de .
Passo 6
Verificação por caminhos simples (mais uma checagem intuitiva):
- Pelo caminho
com fixo temos
- Pelo caminho
:
- Essas verificações mostram que, em várias direções naturais, a função tende ao mesmo valor (consistente com os argumentos anteriores).