\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede avaliar o seguinte limite quando (x,y) se aproxima de (0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, definida para todo (x,y)\neq(0,0).
  • Quer-se saber se existe um número real L tal que f(x,y) se aproxima de L quando (x,y)\to(0,0), e — em caso afirmativo — qual é esse L.

Passo 2

Breve lembrete do que significa limite em duas variáveis (explicação didática):
  • Dizer que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
significa, intuitivamente, que quando (x,y) fica arbitrariamente próximo de (0,0), os valores f(x,y) ficam arbitrariamente próximos de L, independentemente da direção (do caminho) pelo qual (x,y) se aproxima da origem.
  • Métodos comuns para avaliar limites em \mathbb{R}^{2}: testar caminhos (ver se o limite depende do caminho), usar desigualdades e o Teorema do Aperto (Squeeze), ou usar coordenadas polares. Vou usar o Teorema do Aperto como método principal porque aqui ele dá uma solução direta e simples.

Passo 3

Preparar uma desigualdade útil (passo chave para aplicar o Teorema do Aperto):
  • Trabalhamos com o valor absoluto da função para controlar sinais:
\left|\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|=\frac{3x^{2}|y|}{x^{2}+y^{2}}.
  • Observe que x^{2}\le x^{2}+y^{2} para todo (x,y). Logo
\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le 1.
  • Multiplicando essa desigualdade por 3|y| (que é não negativa) obtemos
\frac{3x^{2}|y|}{x^{2}+y^{2}}\le 3|y|.
  • Portanto temos a desigualdade importante
\left|\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|\le 3|y|.

Passo 4

Aplicação do Teorema do Aperto (Squeeze Theorem) e conclusão lógica:
  • O Teorema do Aperto diz que se uma função g(x,y) satisfaz |f(x,y)|\le g(x,y) numa vizinhança da origem (exceto possivelmente no próprio ponto) e \lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=0, então \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
  • No nosso caso, encontramos g(x,y)=3|y| com
\left|\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|\le 3|y|.
  • Como \lim_{(x,y)\to(0,0)} 3|y|=0 (porque y\to 0 quando (x,y)\to(0,0)), pelo Teorema do Aperto a expressão \dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} também tende ao mesmo valor comprimido por g.

Passo 5

Comentário adicional por reforço — método em coordenadas polares (opcional, para entender de outro jeito):
  • Faça x=r\cos\theta e y=r\sin\theta com r\ge 0. Então x^{2}+y^{2}=r^{2} e
\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{3(r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)}{r^{2}}=3r\cos^{2}\theta\sin\theta.
  • Como |\cos^{2}\theta\sin\theta|\le 1 para todo \theta, tem-se
\left|3r\cos^{2}\theta\sin\theta\right|\le 3r.
  • Quando r\to 0 (o que equivale a (x,y)\to(0,0)), 3r\to 0. Portanto a expressão em coordenadas polares também mostra que a função tende a zero independentemente de \theta.

Passo 6

Verificação por caminhos simples (mais uma checagem intuitiva):
  • Pelo caminho y=kx com k fixo temos
\frac{3x^{2}(kx)}{x^{2}+(kx)^{2}}=\frac{3k x^{3}}{x^{2}(1+k^{2})}=\frac{3k x}{1+k^{2}}\xrightarrow[x\to 0]{}0.
  • Pelo caminho y=x^{2}:
\frac{3x^{2}x^{2}}{x^{2}+x^{4}}=\frac{3x^{4}}{x^{2}(1+x^{2})}=\frac{3x^{2}}{1+x^{2}}\xrightarrow[x\to 0]{}0.
  • Essas verificações mostram que, em várias direções naturais, a função tende ao mesmo valor (consistente com os argumentos anteriores).

Resposta

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